【數學】Task01 函數極限與連續性

Task01 函數極限與連續性

極限分為數列極限和函數極限，其中數列極限又由函數極限推廣而來。

1. 數列極限：\(n \to \infty , f(n) = \frac{1}{n}, n=0,1,2,3,..., \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)

2. 函數極限：eg. \(f(x) = \frac{1}{n}\)

   • \(n \to \infty\):

     \[\lim_{x \to \infty}f(x)=0 \Leftrightarrow \\ \forall \epsilon>0, \exists M \ge a, s.t.當x>M時，有|f(x)-A|<\epsilon \]

   • \(n \to x_0\):

     \[\lim_{x \to x_0}f(x)=A \Leftrightarrow \\ \forall \epsilon>0, \exists \delta > 0, s.t.當0<|x-x_0|<\delta時,有|f(x)-A|<\epsilon \]

函數極限

性質

1. 唯一性：有極限，則極限為常數A，並且唯一，若有兩個極限，兩極限相等。
2. 局部有界性：函數在局部內有極限A，則在A的周圍能夠找到一個有界區間。
3. 局部保號性：函數在局部內有極限A，則在A的周圍能夠找到一個區間，函數符號與極限同號。
4. 局部保不等式性：\(f(x)\le g(x), x\in u^0(x_0, \delta) \Rightarrow \lim_{x \to x_0}f(x) \le \lim_{x \to x_0}g(x)\)
5. 迫斂性：夾逼准則：\(f(x)\le h(x)\le g(x), \lim f(x)=A,\lim g(x)=A \Rightarrow \lim h(x)=A\)
6. 左極限=右極限：函數在某點極限，從左邊趨近（左極限）與從右邊趨近（右極限）的極限是相等的。

tip：函數在某點的極限和函數在某點是否存在無關。

函數極限計算

• 等價無窮小（記公式）

• 洛必達法則（常用）

  適用於\(\frac{0}{0}\),或者\(\frac{\infty}{\infty}\)型，如果分子分母可導，則求其導。如果求得的導數是\(\frac{0}{0}\)或者\(\frac{\infty}{\infty}\)​​型，且依然可導，則繼續求導。

• 泰勒公式（通用、復雜）

• 特殊函數的計算

  • 級數
  • 定積分

函數有界性

1. 若\(f(x)\)​在閉區間\([a,b]\)上連續，則\(f(x)\)在閉區間\([a,b]\)上有界
2. 若\(f(x)\)​​在開區間\((a,b)\)​​上連續，且極限\(\lim_{x \to a^+}f(x)\)​​ 與 \(\lim_{x \to b^-}f(x)\)​​存在， 則\(f(x)\)​​在開區間\((a,b)\)​​上有界

無窮小

\[\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \left \{ \begin{aligned} &0, &高階無窮小\\ &c\neq 0, &同階無窮小 \\ &\infty. &低階無窮小\\ \end{aligned} \right. \]

當極限\(c=1\)時，兩者為等價無窮小。

數列極限

• 定義

• 定理：如果數列\(\{a_n\}\)收斂，則其任何子列\(\{a_{n_{k}}\}\)也是收斂的，且\(\lim_{k \to \infty}a_{n_k} = \lim_{k \to \infty}a_{n}\)​，主要用來反證一個數列不收斂，若存在一個子列不收斂，則其主列一定不收斂。

性質

• 唯一性：如果數列存在極限，則極限是唯一的。
• 有界性：如果數列極限存在，則數列是有界的，不同於函數極限的局部有界性。
• 保號性：設數列存在極限\(a\)，且\(a > 0\)（ 或\(a < 0\)） ,則存在正整數\(N\)，當\(n > N\)時，有\(a>0\)​。

運算規則

設\(\lim_{n \to \infty}x_n = a\)，\(\lim_{n \to \infty}=b\)，則

1. \(\lim_{n \to \infty}(x_n \pm y_n)=a \pm b\)
2. \(\lim_{n \to \infty} x_ny_n = ab\)
3. 若\(b \ne 0,y_n\ne0\)​，則\(\lim _{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b}\)​​

夾逼准則

\[\begin{aligned} &\text { 如果數列 }\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\} \text { 及 }\left\{z_{n}\right\} \text { 滿足下列條件 }\\ &\text { (1) } y_{n} \leqslant x_{n} \leqslant z_{n}(n=1,2,3, \cdots) ; \text { (2) } \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=a \text {. }\\ &\text { 則數列 }\left\{x_{n}\right\} \text { 的極限存在, 且 } \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \text {. } \end{aligned} \]

單調有界准則

單調有界數列必有極限，即若數列\(\{x_n\}\)​單調增加（減少）且有上界（下界），則\(\lim_{n \to \infty} x_n\)​存在.

函數連續性

定義

函數在該點處的極限等於在該點處的函數值，則稱函數在該點連續。

間斷點的定義與分類

• 第一類間斷點：左右極限存在，但函數在該點間斷

1. 可去間斷點：函數在該點的極限存在，但是不等於該點的函數值，甚至該點的函數值不存在。
2. 跳躍間斷點：左右極限均存在，但左右極限不相等。

• 第二類間斷點：找不到該點的極限，且函數在該點間斷。

1. 無窮間斷點：該點處極限無窮大。
2. 振盪間斷點：如果函數極限不存在，則這類間斷點稱為振盪間斷點。

作業

1. 小程序使用說明：https://mp.weixin.qq.com/s/iPmzb72Yk0mhIA2NYezXDg

2. 學習內容：bilibili視頻，github

3. 作業內容：張宇數學（一） 1000題

   第一章 函數極限與連續

   強化訓練
   題目：

   • （選擇題）
     函數有界性：1；
     函數漸近線：2；
     無窮小量與無窮大量：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13；
     間斷點：14、15、16；
   • （填空題）
     函數連續性：17；
     無窮小量與無窮大量：18、19、21、22；
     求極限：20、23、24、25；
   • （簡答題）
     函數漸近線：26；
     求極限：27；
   • （計算題）
     求極限：（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）、（9）、（11）、（12）、（13）、（14）、（16）
   • （簡答題）
     無窮大量與無窮小量：29；
   • （計算題）
     無窮大量與無窮小量：（1）、（2）、（3）
     間斷點、函數連續性：31、32、33、35；

   鞏固提高
   題目：

   ​ 無窮大量與無窮小量：1、2；
   ​ 函數連續性、間斷點：3、4、5；
   ​ 解答題（求極限）：7；
   ​ 計算極限：（1）、（2）、（3）、（4）、（5）；
   ​ 漸近線問題：9、11；
   ​ 求極限（簡答題）：10

4. 截止時間：8月19日凌晨03：00