極限與連續的直觀理解

在我學習的課本中，連續是用極限定義的，那么我也就按照這個順序來，先說極限，再借助極限說一下連續吧。

極限的理解

現在，假設你是一個小學生，當然，小學生看了這一篇之后也可以理解極限和連續（我只是隨便說說，並不保證）。某一個周一，媽媽給了你一元錢。周二，給了你兩元錢，周三，她給了你三元錢，而到了周六，自然會給了你六元錢，這再后一天，就是周日，你應該獲得多少錢呢？

七...不，她沒有給你錢。理由是今天是上帝休息的日子。你很生氣，或者起碼也應該感到一點不舒服，因為你本該獲得七元錢。

人的確會根據過往歷史推測未來，不過不得不承認的是，這不總是有效。不過，回過頭再來看，當初你所說的這個本該獲得的錢數，到底是怎么來的呢？不難發現，本該獲得的錢數和實際獲得的錢數並沒有關系，甚至於那一天你媽媽出差了，沒有給你錢的機會了——可是在你得知之前，你仍然會認為周日自己本該得到七元錢。

根據在這之前的數據，推測出的在某一點本該如此如此的數據，叫做極限。

當然，我舉的這個例子不太恰當，因為雖然時間不可能倒流，函數中的自變量(它經常在函數被表示為字母x)確是可以自由增大縮小。當然時間只有向后流動，如果在紙上畫一個時間軸，那么就是向右流動...所以：

根據從左向右的數據推測出的在某一點本該如此如此的數據叫做右極限。

同理有左極限。當在某一點，函數的左極限和右極限同時存在且值相等時，稱之為在該點處的極限。

一般來說，某一個函數在某一點處的極限幾乎總是存在的，所以你應該對那些不存在極限的點感到詫異。它們是間斷點。在我學習過的課程中，間斷點分為第一類和第二類，每一類下又各有兩種。

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連續的理解

就像收不到零花錢的周日一樣，函數值和極限值不相等的情況無疑是令人討厭的（起碼是對於部分學生們來說），我們多么希望，有這樣的一些函數，它們在定義域內的每一處都保持着自己本該有的值！

實際上，這種性質，叫做連續。假如在某一點上，函數的值和函數本該的值相等，那么該函數在該點連續。

本該的值就是極限，所以，因為極限有左右之分，連續也有左右之分。

一直保持着本該是的值是令人興奮的，不會有那么多的出人意料。從另一個可視性更強的角度來看，可以以一筆畫出來其圖像的函數總是連續的(我希望這不難理解。想象一個函數圖像上很小的一條線，如果它不出乎意料，本沒有理由不接着這條線畫下去，而是另起一條線開始畫)，這樣我們就會發現迄今為止學過的大量函數都是連續的。