極限重要公式
求極限參考鏈接：
https://www.sohu.com/a/214347954_507476
關於e的特殊極限
\[\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e \]
\[\lim_{x \to 0} (1+ x)^{\frac{1}{x}} = e \]
關於x的冪指函數的特殊極限
\[\lim_{x \to +\infty} x^{\frac{1}{x}} = 1 \]
\[\lim_{x \to 0^+} x^x = 1 \]
\[\lim_{x \to 0^+} x \ln x =0 \]
帶根號的特殊極限
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \]
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \]
泰勒展開
1、\(sin(x)\)
\[sin(x) = x-\frac{1}{6}x^3+O(x) \]
\[sin(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]
2、\(arcsin(x)\)
\[arcsin(x) = x+\frac{1}{6}x^3+O(x) \]
\[arcsin(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]
3、\(tan(x)\)
\[tan(x) = x + \frac{1}{3}x^3+O(x^3) \]
\[tan(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \]
4、（必須要記牢，推導麻煩且易錯）\(arctan(x)\)
\[arctan(x) = x - \frac{1}{3}x^3 + O(x^3) \]
\[arctan(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} (-1)^{2n+1}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \]
5、\(cos(x)\)
\[cos(x) = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4 + O(x^4) \]
\[cos(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \]
6、\(ln(1+x)\)
\[ln(1+x) = x-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^3) \]
\[ln(1+x) = \sum_{i = 0}^{i = n} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} \]
7、\(e^x\)
\[e^x = 1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+O(x^3) \]
\[e^x = \sum_{i = 0}^{i = n} \frac{x^n}{n!} \]
8、\((1+x)^{\alpha}\)
\[(1+x)^{\alpha} = 1+\alpha x +\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 +O(x) \]
\[ (1+x)^{\alpha} = \sum_{i = 0}^{i = n} \frac{C^n_{\alpha}}{n!} \cdot x^n \]
9、\(\frac{1}{1-x}\)
\[\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + O(x^3) \]
\[\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \]
10、\(a^x\)
\[a^x = 1 + x \ln a \]
11、\((1+x)^{\frac{1}{x}}\)
\[(1+x)^{\frac{1}{x}} = e(1-\frac{x}{2} + \frac{11x^2}{24} - \frac{7x^3}{16} \cdots) = e - \frac{x}{2}e + \frac{11x^2}{24}e - \frac{7x^3}{16}e \cdots \]
（易錯點）使用等價無窮小和泰勒展開求極限的條件
重點！！
1、做乘除法時，可以
2、做加減法時，只有部分情況可以，檢驗是否可行的方法：
對於
\[\lim a+ b \]
帶入泰勒或者等價無窮小后，看看是否滿足\(\frac{a}{b} = \pm 1\)
是則不能帶入，否則可以帶入；例如：
\[\lim \cos x - 1 = (1-\frac{x^2}{2}) - 1 = -\frac{x^2}{2} \]
因為帶入后為\(\frac{1-\frac{x^2}{2}}{-1} \neq \pm1\)
而
\[\lim \sin x - \tan x$$不行，因為帶入后為$\frac{x}{-x} = -1$ # 極限計算題分類 ## 函數極限的計算 ### 1、分子為兩根式之差 使用平方差公式化簡 例如：1000題的1.7 $\frac{\sqrt{5x-1} - \sqrt{2x+5}}{x^2-4}$ ### 2、指數函數帶有$\frac{1}{x}$或帶有$\ln f(x)$的 簡單因式（的倒數）往下放 例如： 1000題的1.9 $\lim\limits_{x \to \infty} e^{-x}(1+\frac{1}{x})^{x^2}$ 1.11 ### 3、帶有積分的 化成積分分式，用洛必達消去積分 例如： 1000題的1.8 ### 4、三角函數無法帶入泰勒展開式計算的 例如： 1000題的1.5 ### 5、使用拉格朗日中值定理 如果在$[a,b]$(開區間、閉區間都可以)可導、連續，則： $ \exists \epsilon \in (a,b)$ 使得 $$ f'(\epsilon)(b-a) = f(b) - f(a)$$ 或 $$f'(\epsilon) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}\]
6、\(1^\infty\)極限的計算
\(x \to \infty ,g(x)^{f(x)}\)即等於\(e^A\)
\[A= f(x)[g(x)-]) \]
例如：1.66
無窮小比階
1、若\(a \neq 0,k>0\)，\(x \to 0\)時\(f(x) \sim ax^k\) \(\Rightarrow\) \(x \to 0\)時，f(x)是x的k階無窮小
2、若\(k>0\)時，\(\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^k}\) \(\Rightarrow\) \(x \to 0,f(x)\)是\(x\)的\(k\)階無窮小
3、若\(f(x) = a_0+a_1x+ \cdots a_k x^k \cdots\),其中\(a_0+a_1x+ \cdots a_{k-1}=0\)，但\(a_k \neq 0\),則\(f(x)\)是x的k階無窮小
4、若\(x \to 0\),\(g(x)\)是x的n階無窮小,\(f(x)\)是x的m階無窮小,$$\int^{g(x)}_0 f(t) dt$$是x的\((m+1) \cdot n\)階無窮小
5、若\(x \to 0\)時\(f(x)\)與\(g(x)\)分別是x的m階無窮小和n階無窮小，又\(\lim\limits_{x \to 0} h(x) = a \neq 0\)，則
1）\(f(x) h(x)\)是x的m階無窮小
\(f(x)g(x)\)是x的\(m+n\)階無窮小
2）\(m>n\)時，\(f(x)+g(x)\)是x的n階無窮小
3）\(m=n\)時，\(f(x)+g(x)\)是x的n階或高於n階的無窮小
數列極限的計算
1、轉化為函數極限來算
然后就可以用洛必達、拉格朗日中值定理
2、先求和或積
3、夾逼准則
1、簡單放縮
n個正數之和不超過 n乘以最大值，不小於n乘以最小值
例如：$$\lim\limits_{n \to \infty} (\frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} \cdots \frac{n}{n^2+n})$$
設原極限為A；
數列中最大值為\(\frac{n}{n^2+1}\)，最小值為\(\frac{n}{n^2+n}\)
\[\frac{n}{n^2+n} \cdot n \leq A \leq \frac{n}{n^2+1} \cdot n \]
\[\Rightarrow \frac{1}{1+\frac{1}{n}} \leq A \leq \frac{1}{1+\frac{1}{n^2}} \]
\[\Rightarrow A=1 \]
有限m個數相加
例如：$$
\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n +\cdots a_m^n}, 0 \leq a_i(i = 1,2,3, \cdots m)$$
這種題要注意，要找最大值，大於最大值，小於m個最大值之和
設原數列和為A，其最大值為\(a_1=max(a_1,a_2,\cdots ,a_m)\)則
\[a_1^n \leq A \leq a_1^n \cdot m \]
\[\Rightarrow a_1 \leq \sqrt[n]{A} \leq a_1 \cdot m^{\frac{1}{n}} \]
\[\Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} A = a_1=max(a_1, \cdots ,a_m) \]
重要結論：
形如$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n+\cdots a_m^n} = max(a_1,a_2,\cdots,a_m)$$m有限
例1：$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{2020 + 2^n+3^n+4^n}=4$$
例2：$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2})^n}$$(記得分類討論)
4、單調有界准則
5、數列的構造法
求極限的應用
1、間斷點
第一類
可短間斷點
\(x = x_0\) 時無定義
跳躍間斷點
左右極限不等
第二類
無窮間斷點
無極限，且無界
振盪間斷點
無極限卻有界
2、函數曲線漸近線的求法
垂直漸近線
- 先找無定義點 \(x_0\)
- 求該點的極限$$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$$ 極限存在則，\(x = x_0\) 為垂直漸近線
水平漸近線
求極限 $$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = A$$ \(A\)是否存在
存在則\(y = A\) 為水平漸近線
斜漸近線
若\(y = f(x)\) 滿足：
-
\[\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = k$$ $k$ 存在 \]
則有斜漸近線 \(y = kx + b\)
3、利用導數的定義計算特殊的導數
