高等數學1 函數極限連續

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高等數學
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函數極限連續

函數極限連續
函數
函數概念
函數的表示
復合函數
反函數
分段函數
基本初等函數
函數性質
極限
數列極限與函數極限概念性質，存在准則
數列極限
函數極限
無窮小與無窮大
- 無窮小
- 無窮大
極限的計算
連續
連續性概念
連續函數的性質
初等函數的連續性

函數

函數概念

定義1

給定兩個實數集$D$和$M$，若有對應法則$f$，使對$D$內的每一個數$x$，都有唯一一個數$y\in M$與它對應，則稱$f$是定義在數集$D$上的函數。記作

\[f:D \rightarrow M \]

數集$D$稱為函數$f$的定義域。$x$所對應的數$y$稱為$f$在點$x$的函數值，常記為$f(x)$。全體函數值的集合$f(D)=\{y|y=f(x),x\in D\} (\subset M)$ 稱為函數$f$的值域。

$D\rightarrow M$表示按着法則$f$建立數集$D$到$M$的函數關系。習慣上，我們稱此函數關系中的$x$為自變量，$y$為因變量。

函數的表示

公式法
列表法
圖像法

復合函數

復合函數也可以由多個函數相繼復合而成

當且僅當$E^*(\{x|g(x)\in D\}\bigcap E) \neq \emptyset$，函數$f$與$g$才能復合而成。

反函數

函數$f$有反函數，意味着$f$是$D$與$f(D)$之間的一個一一映射。

分段函數

絕對值函數

圖像

符號函數

\[sgn \ x= \begin{cases} &1 &x>0 \\ &0 &x=0 \\ &-1 &x<0\\ \end{cases} \]

定義域為$D=(-\infin,+\infin)$，值域$R_f=\{-1,0,1\}$

$x=sgnx * |x|$

圖像

取整函數

設$x$為任一實數，不超過$x$的最大整數稱為$x$的整數部分，記作$[x]$。

把$x$看做變量，則函數$y=[x]$ ，稱為取整函數。

定義域為$D=(-\infin,+\infin)$，值域$R_f=Z$

圖像

狄利克雷函數

黎曼函數

基本初等函數

常量函數 $y=c(c是常數)$；
冪函數 $y=x^a (a為常數)$；
指數函數 $y=a^x(a>0,a \neq 1)$
對數函數 $y=log_ax(a>0,a\neq1)$
三角函數

$y=sinx(正弦函數)$，$y=cosx(余弦函數)$，

$y=tanx(正切函數)$，$y=cotx(余切函數)$
反三角函數

$y=arsinx(反正弦函數)$，$y=arcosx(反余弦函數)$，

$y=artanx(反正切函數)$，$y=arcotx(反余切函數)$

指數運算

對於所有實數$a>0,m,n$，我們有以下恆等式

\[\begin{aligned} a^0&=1 \\ a^1&=a \\ a^{-1}&=1/a \\ (a^m)^n&=a^{mn}=(a^n)^m \\ a^ma^n&=a^{m+n} \end{aligned} \\ 對於所有n和a\geq 1,函數a^n關於n單調遞增。\\ \]

我們假定$0^0=1$

多項式與指數的增長率比較

\[\begin{aligned}對所有使得a>1的實常量a和b,有 \\&\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^b}{a^n}=0 \\因此可得 \\&n^b=o(a^n)\end{aligned} \]

自然對數$e$

\[對於所有實數x,我們有 \\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots=\sum^{\infty}_{i=0}\frac{x^i}{i!} \]

\[對所有實數x，我們有不等式 \\ e^x\geq 1+x ,只有x=0時等號成立 \\ 當 |x|\leq 1時，有近似估計 \\ 1+x+x^2 \geq e^x \geq1+x \]

\[對所有x，我們有： \\ \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^n=e^x \]

對數運算

我們將使用以下記號：

$lgn= log_2n \tag{以2為底的對數} $

$ lnn\tag{自然對數} \$

$ lg^kn=(lgn)k\tag{取冪} \$

$ lglgn=lg(lgn)\tag{復合} \$

對所有實數$a>0,b>0.c>0和m,n$，有

\[\begin{aligned} a&=b^{log_ba} \\ log_c(ab)&=log_ca+log_cb \\ log_ba^n&=nlog_ba \\ log_ba&=\frac{log_ca}{log_cb} \\ log_b(1/a)&=-log_ba \\ log_ba&=\frac{1}{log_ab}\\ a^{log_bc}&=c^{log_ba} \end{aligned} \\ 其中，在上面的每個等式中，對數的底不為1\\ \]