高等數學選修

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映射

• 定義

設 \(X,Y\) 為兩個非空集合，如果存在一個法則 \(f\)，使得 \(X\) 中的每個元素 \(x\)，按照法則 \(f\)，在 \(Y\) 中有唯一確定的元素 \(y\) 與之對應，那么稱 \(f\) 為從 \(X\) 到 \(Y\) 的映射，記作

\[f:X\to Y \]

其中 \(y\) 稱為元素 \(x\)（在映射 \(f\) 下）的像，並記作 \(f(x)\)，即

\[y=f(x) \]

元素 \(x\) 稱為元素 \(y\)（在映射 \(f\) 下）的一個原像。

集合 \(X\) 稱為映射 \(f\) 的定義域，記作 \(D_f\)，即 \(D_f=X\)。

\(X\) 中的所有元素的像所組成的集合稱為映射 \(f\) 的值域，記作 \(R_f\) 或 \(f(X)\)，即

\[R_f=f(X)=\{f(x)\mid x\in X\} \]

• 性質

1. 構成映射的三要素：定義域，值域，對應法則。

2. \(x\to y\) 是唯一的，\(y\to x\) 不一定是唯一的。

3. 值域 \(R_f\) 是 \(Y\) 的一個子集，即 \(R_f\subset Y\)，但不一定 \(R_f=Y\)

例：設 \(f:\R\to \R\)，對於每個 \(x\in \R,f(x)=x^2\)，那么有 \(Y=\R\)，但 \(R_f=f(X)=\{y\mid y\geq 0\}\)，它是 \(\R\) 的一個真子集。

設 \(f:X\to Y\)，若 \(R_f=Y\)，則稱 \(f\) 為 \(X\) 到 \(Y\) 上的映射或滿射，若對於 \(X\) 中的任意兩個不同元素 \(x_1\neq x_2\)，它們的像 \(f(x_1)\neq f(x_2)\)，則稱 \(f\) 為 \(X\) 到 \(Y\) 的單射，若映射 \(f\) 既是滿射又是單射，則稱 \(f\) 為一一映射（或雙射）。

非空集 \(X\) 到數集 \(Y\) 的映射又被稱為 \(X\) 上的泛函。

非空集 \(X\) 到它自身的映射又被稱為 \(X\) 上的變換。

實數集或其子集 \(X\) 到實數集 \(Y\) 的映射通常稱為定義在 \(X\) 上的函數。

逆映射

• 定義

設 \(f\) 為 \(X\) 到 \(Y\) 的單射，我們定義一個從 \(R_f\) 到 \(X\) 的新映射 \(g\)，即

\[g:R_f\to X \]

則這個映射 \(g\) 稱為 \(f\) 的逆映射，記作 \(f^{-1}\)

按照上述定義，只有單射才存在逆映射。

復合映射

• 定義

設有兩個映射

\[g:X\to Y_1,\quad f:Y_2\to Z \]

其中 \(Y_1\subset Y_2\)，則由映射 \(g\) 和 \(f\) 可以確定出一個從 \(X\) 到 \(Z\) 的對應法則，它將每個 \(x\in X\) 映成 \(f[g(x)]\in Z\)，這個對應法則確定了一個從 \(X\) 到 \(Z\) 的映射，這個映射稱為映射 \(g\) 和 \(f\) 構成的復合映射，記作 \(f \circ g\)，即：

\[f\circ g:X\to Z,\quad(f\circ g)(x)=f[g(x)],x\in X \]

函數

• 定義

設數集 \(D\subset \R\)，則稱映射 \(f:D\to\R\) 為定義在 \(D\) 上的函數，通常簡記為

\[y=f(x),x\in D \]

函數是從實數集到實數集的映射，值域總在 \(\R\) 內，因此構成函數的要素是定義域 \(D_f\) 及對應法則 \(f\)

坐標平面上的點集

\[\{P(x,y)\mid y=f(x),x\in D\} \]

稱為函數 \(y=f(x),x\in D\) 的圖形。

• 函數的特性

1. 函數的有界性

如果存在數 \(K_1\) 使得 \(f(x)\le K_1\) 對任一 \(x\in X\) 都成立，則稱函數 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有上界，\(K_1\) 稱為函數 \(f(x)\) 在 \(X\) 上的一個上界。

如果存在數 \(K_2\) 使得 \(f(x)\ge K_2\) 對任一 \(x\in X\) 都成立，則稱函數 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有下界，\(K_2\) 稱為函數 \(f(x)\) 在 \(X\) 上的一個下界。

如果存在正數 \(M\) 使得 \(|f(x)|\le M\) 對任一 \(x\in X\) 都成立，則稱函數 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有界，不存在則稱無界。

2. 函數的單調性
3. 函數的奇偶性
4. 函數的周期性

以上三點高中數學均有涉及。

反函數

• 定義

類比逆映射的定義，對每個 \(y\in f(D)\)，有唯一的 \(x\in D\)，使得 \(f(x)=y\)，於是有

\[f^{-1}(y)=x \]

為 \(f(x)=y\) 的反函數。

• 性質

1. \(f(x)\) 與 \(f^{-1}(x)\) 單調性相同，可以通過單射證明。
2. \(f(x)\) 與 \(f^{-1}(x)\) 的圖形關於直線 \(y=x\) 對稱。

復合函數

• 定義

類比復合映射的定義，若有 \(y=f(u),u=g(x)\)，且 \(R_g\subset D_f\)，則

\[y=f[g(x)],x\in D_g \]

稱為由函數 \(u=g(x)\) 和函數 \(y=f(u)\) 構成的復合函數，同樣記作 \((f\circ g)(x)\)，即

\[(f\circ g)(x)=f[g(x)] \]

函數的運算

設函數 \(f(x),g(x)\) 的定義域 \(D_f,D_g\) 滿足 \(D=D_f\cap D_g\neq\varnothing\)，則定義下列運算

​ 和（差）\(f\pm g\) ：\((f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x),x\in D\)

​ 積 \(f\cdot g\) ：\((f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x),x\in D\)

​ 商 \(\dfrac{f}{g}\) ：\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)},x\in D\backslash\{x\mid g(x)=0,x\in D\}\)

基本初等函數

• 冪函數：\(y=x^{\mu}(u\in \R 是常數)\)
• 指數函數：\(y=a^x(a>0且a\ne 1)\)
• 對數函數：\(y=\log_a x(a>0且a\ne 1,特別當a=e時,記作y=\ln x)\)
• 三角函數：\(y=\sin x,y=\cos x,y=\tan x\) 等
• 反三角函數：\(y=\arcsin x,y=\arccos x,y=\arctan x\) 等

數列的極限

• 定義

設 \(\{x_n\}\) 為一數列，如果存在常數 \(a\)，對於任意給定的正數 \(\epsilon\)（不論它多么小），總存在正整數 \(N\)，使得當 \(n>N\) 時，不等式

\[|x_n-a|<\epsilon \]

都成立，那么就稱常數 \(a\) 時數列 \(\{x_n\}\) 的極限，或者稱數列 \(\{x_n\}\) 收斂於 \(a\)，記為

\[\lim_{n\to \infty} x_n=a \]

或

\[x_n\to a(n\to \infty) \]

如果不存在這樣的常數 \(a\)，就說數列 \(\{x_n\}\) 沒有極限，或者說數列 \(\{x_n\}\) 是發散的，習慣上也說 \(\lim\limits_{n\to \infty} x_n\) 不存在。

• 收斂數列的性質

1. 極限的唯一性

如果數列 \(\{x_n\}\) 收斂，那么它的極限唯一。

2. 收斂數列的有界性

如果數列 \(\{x_n\}\) 收斂，那么數列 \(\{x_n\}\) 一定有界。

3. 收斂數列的保號性

如果 \(\lim \limits_{n\to \infty} x_n=a,且a>0(或 a<0)\)，那么存在正整數 \(N\)，當 \(n>N\) 時，都有 \(x_n>0(或 x_n<0)\)

4. 收斂數列與其子數列的關系

如果數列 \(\{x_n\}\) 收斂於 \(a\)，那么它的任一子數列也收斂，極限也為 \(a\)

注意：發散數列也可能有收斂的子數列。

函數的極限

• 定義

類比數列的極限

\[\lim_{x\to x_0} f(x)=A \]

注意：\(x\to x_0\) 時 \(f(x)\) 有沒有極限，與 \(f(x)\) 在點 \(x_0\) 是否有定義並無關系。

只能考慮從 \(x_0\) 的左側趨於 \(x_0\) 的情形，\(A\) 稱為 \(f(x)\) 在 \(x\to x_0\) 時的左極限，記為

\[\lim_{x\to x_0^-}f(x)=A\quad或\quad f(x_0^-)=A \]

只能考慮從 \(x_0\) 的右側趨於 \(x_0\) 的情形，\(A\) 稱為 \(f(x)\) 在 \(x\to x_0\) 時的右極限，記為

\[\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A\quad 或\quad f(x_0^+)=A \]

左極限與右極限統稱為單側極限。

即使 \(f(x_0^-)\) 和 \(f(x_0^+)\) 都存在，但若不相等，則 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) 也不存在。

• 函數極限的性質

1. 函數極限的唯一性

如果 \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\) 存在，那么這極限唯一。

2. 函數極限的局部有界性

如果 \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=A\)，那么存在常數 \(M>0\) 和 \(\delta>0\)，使得當 \(0<|x-x_0|<\delta\) 時，有 \(|f(x)|\le M\)

3. 函數極限的局部保號性

如果 \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=A,且A>0(或A<0)\)，那么存在常數 \(\delta>0\)，使得當 \(0<|x-x_0|<\delta\) 時，有 \(f(x)>0(或 f(x)<0)\)

如果 \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=A(a\ne 0)\)，那么就存在 \(x_0\) 的某一去心鄰域 \(\mathring U(x_0)\)，當 \(x\in \mathring U(x_0)\) 時，有 \(|f(x)|>\dfrac{|A|}{2}\)

推論：

如果在 \(x_0\) 的某去心鄰域內 \(f(x)\ge 0(或f(x)\le 0)\)，且 \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=A\)，那么 \(A\ge 0(或 A\le 0)\)

4. 函數極限與數列極限的關系

如果極限 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) 存在，\(\{x_n\}\) 為函數 \(f(x)\) 的定義域內任一收斂於 \(x_0\) 的數列，且滿足 \(x_n\ne x_0(n\in \N_+)\)，那么相應的函數值數列 \(\{f(x_n)\}\) 必收斂，且 \(\lim\limits_{n\to \infty} f(x_n)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\)

無窮小與無窮大

• 定義

如果函數 \(f(x)\) 在 \(x\to x_0\)（或 \(x\to \infty\)）時的極限為零，即

\[\lim_{x\to x_0} f(x)=0\quad(或\lim_{x\to \infty}f(x)=0) \]

那么稱 \(f(x)\) 為當 \(x\to x_0\)（或 \(x\to \infty\)）時的無窮小。

如果函數 \(f(x)\) 在 \(x\to x_0\)（或 \(x\to \infty\)）時對應的函數值的絕對值 \(|f(x)|\) 可以大於預先指定的任何正數 \(M\)，那么稱 \(f(x)\) 為當 \(x\to x_0\)（或 \(x\to \infty\)）時的無窮大，為了描述方便，我們也說函數的極限是無窮大，並記作

\[\lim_{x\to x_0} f(x)=\infty\quad(或\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty) \]

如果在無窮大的定義中把 \(|f(x)|>M\) 改為 \(f(x)>M\) 或 \(f(x)<-M\)，就記作

\[\lim_{x\to x_0\atop(x\to \infty)}f(x)=+\infty\quad(或\lim_{x\to x_0\atop(x\to \infty)}f(x)=-\infty) \]

1. 無窮小與函數極限的關系

在自變量的同一變化過程 \(x\to x_0或(x\to \infty)\) 中，函數 \(f(x)\) 具有極限 \(A\) 的充要條件是 \(f(x)=A+\alpha\)，其中 \(\alpha\) 是無窮小。

2. 無窮小與無窮大之間的關系

在自變量的同一變化過程中，如果 \(f(x)\) 為無窮大，那么 \(\dfrac{1}{f(x)}\) 為無窮小；反之，如果 \(f(x)\) 為無窮小，且 \(f(x)\ne 0\)，那么 \(\dfrac{1}{f(x)}\) 為無窮大。

• 無窮小的比較

注：下面的 \(\alpha,\beta\) 都是在同一個自變量的變化過程中的無窮小，且 \(\alpha\ne 0\)，\(\lim \dfrac{\beta}{\alpha}\) 也是這個變化過程中的極限。

1. 如果 \(\lim \dfrac{\beta}{\alpha}=0\)，那么就說 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 高階的無窮小，記作 \(\beta=\omicron(\alpha)\)
2. 如果 \(\lim \dfrac{\beta}{\alpha}=\infty\)，那么就說 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 低階的無窮小。
3. 如果 \(\lim \dfrac{\beta}{\alpha}=c\ne 0\)，那么就說 \(\beta\) 與 \(\alpha\) 是同階無窮小。
4. 如果 \(\lim \dfrac{\beta}{\alpha^k}=c\ne 0\)，那么就說 \(\beta\) 是關於 \(\alpha\) 的 \(k\) 階無窮小。
5. 如果 \(\lim \dfrac{\beta}{\alpha}=1\)，那么就說 \(\beta\) 與 \(\alpha\) 是等價無窮小，記作 \(\alpha\sim \beta\)

定理 \(1\)：

\(\beta\) 和 \(\alpha\) 是等價無窮小的充要條件是 \(\beta=\alpha+\omicron(\alpha)\)

定理 \(2\)：

設 \(\alpha\sim\widetilde{\alpha},\beta\sim\widetilde{\beta}\)，且 \(\lim\dfrac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}\) 存在，則 \(\lim\dfrac{\beta}{\alpha}=\lim\dfrac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}\)

極限運算法則

1. 兩個無窮小的和是無窮小。
2. 有界函數與無窮小的乘積是無窮小。
3. 如果 \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0} g(x)=B\)，那么：

（1）\(\lim\limits_{x\to x_0} [f(x)\pm g(x)]=\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\pm\lim\limits_{x\to x_0} g(x)=A\pm B\)

（2）\(\lim\limits_{x\to x_0} [f(x)\cdot g(x)]=\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\cdot \lim\limits_{x\to x_0} g(x)=A\cdot B\)

（3）若又有 \(B\ne 0\)，則 \(\lim\limits_{x\to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim\limits_{x\to x_0} f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0} g(x)}=\dfrac{A}{B}\)

4. 如果 \(\varphi(x)\ge \psi(x)\)，而 \(\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0}\psi(x)=B\)，那么 \(A\ge B\)

極限存在准則

准則 \(1\)：

如果數列 \(\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}\) 滿足以下條件：

（1）從某項起，即 \(\exists n_0\in \N_+\)，當 \(n>n_0\) 時，有：

\[y_n\le x_n\le z_n \]

（2）\(\lim\limits_{n\to \infty} y_n=a,\lim\limits_{n\to \infty} z_n=a\)

那么數列 \(\{x_n\}\) 的極限存在，且 \(\lim\limits_{n\to \infty} x_n=a\)

上述數列極限存在准則可推廣到函數的極限：

准則 \(1'\)：

如果函數 \(f(x),g(x),h(x)\) 滿足以下條件：

（1）當 \(x\in \mathring U(x_0,r)\ (或|x|>M)\) 時，有：

\[g(x)\le f(x)\le h(x) \]

（2）\(\lim\limits_{x\to x_0\atop(x\to \infty)}g(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0\atop(x\to \infty)}h(x)=A\)

那么函數 \(f(x)\) 的極限存在，且 \(\lim\limits_{x\to x_0\atop(x\to \infty)}f(x)=A\)

准則 \(2\)：

單調有界函數必有極限

准則 \(2'\)：

設函數 \(f(x)\) 在點 \(x_0\) 的某個左鄰域內單調並且有界，則 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的左極限 \(f(x_0^-)\) 必定存在。

柯西極限存在准則：

數列 \(\{x_n\}\) 收斂的充要條件是：對於任意給定的正數 \(\epsilon\)，存在正整數 \(N\)，使得當 \(m>N,n>N\) 時，有

\[|x_n-x_m|<\epsilon \]

兩個重要極限

\[\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 \]

\[\lim_{z\to 0}(1+z)^{\frac{1}{z}}=\lim_{x\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e \]

函數的連續性

• 定義

設函數 \(y=f(x)\) 在點 \(x_0\) 的某一鄰域內有定義，如果

\[\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to 0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0 \]

或

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) \]

則稱函數 \(f(x)\) 在點 \(x_0\) 連續。

類比函數的左極限，右極限，可以得到函數的左連續，右連續，不再展開。

函數的間斷點

• 定義

設函數 \(f(x)\) 在點 \(x_0\) 的某去心鄰域內有定義，如果有下列三種情形之一：

（1）函數在 \(x=x_0\) 沒有定義

（2）在 \(x=x_0\) 有定義，但 \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\) 不存在

（3）在 \(x=x_0\) 有定義，\(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\) 存在，但 \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\ne f(x_0)\)

那么函數 \(f(x)\) 在點 \(x_0\) 不連續，點 \(x_0\) 稱為函數 \(f(x)\) 的間斷點。

導數

• 定義

設函數 \(f(x)\) 在點 \(x_0\) 處的某個鄰域內有定義，當自變量 \(x\) 在 \(x_0\) 處取得增量 \(\Delta x\) 時，相應地，因變量取得增量 \(\Delta y=f(x_0+x)-f(x)\)；如果 \(\Delta y\) 與 \(\Delta x\) 的比值當 \(\Delta x\to 0\) 時的極限存在，那么稱函數 \(y=f(x)\) 在點 \(x_0\) 處可導，並稱這個極限為函數 \(y=f(x)\) 在點 \(x_0\) 處的導數，記為 \(f'(x_0)\)，即

\[f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]

也可記作 \(y'\mid_{x=x_0},\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\mid_{x=x_0},\dfrac{{\rm d}f(x)}{{\rm d}x}\mid_{x=x_0}\)

導函數：

\[y'=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

如果這個極限不存在，則稱函數 \(y=f(x)\) 在點 \(x_0\) 處不可導，如果不可導的原因是由於 \(\Delta x\to 0\) 時 \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\to \infty\)，也往往說函數 \(y=f(x)\) 在點 \(x_0\) 處的導數為無窮大。

• 導數的幾何意義

函數 \(y=f(x)\) 在點 \(x_0\) 處的導數 \(f'(x_0)\) 在幾何上表示曲線 \(y=f(x)\) 在點 \(M(x_0,f(x_0))\) 處切線的斜率，即

\[f'(x_0)=\tan \alpha \]

其中 \(\alpha\) 是切線的傾角。

• 函數可導性與連續性的關系

函數在某點可導就在這一點一定連續，但函數在某點連續卻不一定在這一點可導。

函數的和、差、積、商的求導法則

如果函數 \(u=u(x)\) 和 \(v=v(x)\) 都在點 \(x\) 處具有導數，那么它們的和、差、積、商（除分母為 \(0\) 的點外）都在點 \(x\) 具有導數，且

\[\begin{aligned} (u\pm v)'&=u'\pm v'\\ (Cu)'&=Cu'\\ (uv)'&=vu'+uv'\\ \left(\dfrac{u}{v}\right)'&=\dfrac{vu'-uv'}{v^2}\quad(v\ne 0)\\ \end{aligned} \]

反函數的導數等於直接函數導數的倒數。

設復合函數 \(y=f(u),u=g(x)\)，則復合函數 \(y=f[g(x)]\) 的導數為

\[\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=f'(u)g'(x) \]

高階導數

• 定義

我們把 \(y'=f'(x)\) 的導數稱為 \(y=f(x)\) 的二階導數，記作 \(y''或 \dfrac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}\)

相應的， 我們把 \(y=f(x)\) 的導數 \(f'(x)\) 叫做函數 \(y=f(x)\) 的一階導數。

類似地，二階導數的導數叫做三階導數，\(n-1\) 階導數的導數叫做 \(n\) 階導數，記作

\[y''',y^{(4)},\cdots,y^{(n)}\quad 或\quad \dfrac{{\rm d}^3y}{{\rm d}x^3},\dfrac{{\rm d}^4y}{{\rm d}x^4},\cdots\dfrac{{\rm d}^ny}{{\rm d}x^n} \]

二階及以上的導數統稱為高階導數。

• 萊布尼茨公式

\[(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n\choose k}u^{(n-k)}v^{(k)} \]

與二項式定理類似，系數一致，把 \(k\) 次冪換成 \(k\) 階導數，\(u+v\) 的 \(n\) 次冪換成 \(uv\) 的 \(n\) 階導數。

• 常用導數公式

\[\begin{aligned} (C)'&=0\\ (x^{\mu})'&=\mu x^{\mu -1}\\ (a^x)'&=a^x\ln a\quad(a>0,a\ne 1)\\ (\log_a x)'&=\dfrac{1}{x\ln a}\\ (\sin x)'&=\cos x\\ (\cos x)'&=-\sin x\\ (\tan x)'&=\sec^2 x\\ (\cot x)'&=-\csc^2 x\\ (\sec x)'&=\sec x\tan x\\ (\csc x)'&=-\csc x\cot x\\ (\arcsin x)'&=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x)'&=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x)'&=\dfrac{1}{1+x^2}\\ (\arccot x)'&=-\dfrac{1}{1+x^2}\\ (e^x)^{(n)}&=e^x\\ (\sin x)^{(n)}&=\sin(x+\dfrac{n\pi}{2})\\ (\cos x)^{(n)}&=\cos(x+\dfrac{n\pi}{2})\\ (\ln(1+x))^{(n)}&=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(1+x)^n}\\ (x^\mu)^{(n)}&=\mu^{\underline{n}}x^{\mu-n}\\ \end{aligned} \]

函數的微分

• 定義

設函數 \(y=f(x)\) 在某區間有定義， \(x_0\) 及 \(x_0+\Delta x\) 在這區間內，如果函數的增量

\[\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) \]

可表示為

\[\Delta y=A\Delta x+\omicron(\Delta x) \]

其中 \(A\) 是不依賴於 \(\Delta x\) 的常數，那么稱函數 \(y=f(x)\) 在點 \(x_0\) 是可微的，而 \(A\Delta x\) 叫做函數 \(y=f(x)\) 在點 \(x_0\) 相應於自變量增量 \(\Delta x\) 的微分，記作 \({\rm d}y\)，即

\[{\rm d}y=A\Delta x \]

• 函數可微的條件

若 \(y=f(x)\) 在點 \(x_0\) 可微，則有

\[\begin{aligned} \Delta y&=A\Delta x+\omicron(\Delta x)\\ \dfrac{\Delta y}{\Delta x}&=A+\dfrac{\omicron(\Delta x)}{\Delta x} \end{aligned} \]

當 \(\Delta x\to 0\) 時，由上式可得到

\[A=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0) \]

因此，如果函數 \(y=f(x)\) 在點 \(x_0\) 可微，那么函數在點 \(x_0\) 也一定可導。

反之，如果 \(y=f(x)\) 在點 \(x_0\) 可導，即

\[\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0) \]

存在，根據極限與無窮小的關系，上式可寫成

\[\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)+\alpha \]

其中 \(\alpha \to 0\)，由此又有

\[\Delta y=f'(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x \]

因為 \(\alpha\Delta x=\omicron(\Delta x)\)，且 \(f'(x_0)\) 不依賴於 \(\Delta x\)，所以 \(f(x)\) 在點 \(x_0\) 也是可微的。

由此可見，函數 \(f(x)\) 在點 \(x_0\) 可微的充要條件是函數 \(f(x)\) 在點 \(x_0\) 可導，且當 \(f(x)\) 在點 \(x_0\) 可微時，其微分一定是

\[{\rm d}y=f'(x_0)\Delta x \]

當 \(f'(x_0)\ne 0\) 時，有

\[\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{{\rm d}y}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{f'(x_0)\Delta x}=\dfrac{1}{f'(x_0)}\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=1 \]

從而，當 \(\Delta x\to 0\) 時，\(\Delta y\) 與 \({\rm d}y\) 是等價無窮小，這時有

\[\Delta y={\rm d}y+\omicron({\rm d}y) \]

即 \({\rm d}y\) 是 \(\Delta y\) 的主部，當 \(f'(x_0)\ne 0,\Delta x\to 0\) 時，我們稱 \({\rm d}y\) 是 \(\Delta y\) 的線性主部。

所以在 \(f'(x_0)\ne 0\) 的條件下，以微分 \({\rm d}y=f'(x_0)\Delta x\) 近似代替增量 \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\) 時，其誤差為 \(\omicron({\rm d}y)\)，因此在 \(|\Delta x|\) 很小時，有近似等式

\[\Delta y\approx {\rm d}y \]

通常我們把自變量 \(x\) 的增量 \(\Delta x\) 稱為自變量的微分，記作 \({\rm d}x\)，即 \({\rm d}x=\Delta x\) ，於是函數 \(y=f(x)\) 的微分又可寫作

\[{\rm d}y=f'(x){\rm d}x \]

從而有

\[\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=f'(x)\\ \]

這就是說，函數的微分 \({\rm d}y\) 與自變量的微分 \({\rm d}x\) 之商等於該函數的導數。

函數和、差、積、商的微分法則

由函數的和、差、積、商的求導法則，可以推得其微分法則。

\[\begin{aligned} {\rm d}(u\pm v)&={\rm d}u\pm {\rm d}v\\ {\rm d}(Cu)&=C{\rm d}u\\ {\rm d}(uv)&=v{\rm d}u+u{\rm d}v\\ {\rm d}\left(\dfrac{u}{v}\right)&=\dfrac{v{\rm d}u-u{\rm d}v}{v^2}\quad(v\ne 0) \end{aligned} \]

設復合函數 \(y=f(u),u=g(x)\)，則復合函數 \(y=f[g(x)]\) 的微分為

\[{\rm d}y=f'(u)g'(x){\rm d}x\\ \]

微分中值定理

• 費馬引理

設函數 \(f(x)\) 在點 \(x_0\) 的某鄰域 \(U(x_0)\) 內有定義，並且在 \(x_0\) 處可導，如果對任意的 \(x\in U(x_0)\)，有

\[f(x)\le f(x_0)\quad 或 \quad f(x)\ge f(x_0) \]

那么 \(f'(x_0)=0\)

通常稱導數等於零的點為函數的駐點（或穩定點，臨界點）

• 羅爾定理

如果函數 \(f(x)\) 滿足

（1）在閉區間 \([a,b]\) 上連續；

（2）在開區間 \((a,b)\) 內可導；

（3）在區間端點處的函數值相等，即 \(f(a)=f(b)\)，

那么在 \((a,b)\) 內至少有一點 \(\xi(a<\xi<b)\)，使得 \(f'(\xi)=0\)

• 拉格朗日中值定理

羅爾定理中 \(f(a)=f(b)\) 的條件過於苛刻，使得它的使用受到了很大的限制。

但如果把這個限制去掉，仍保留其余兩個條件，並相應的改變結論，那么就得到了拉格朗日中值定理。

如果函數 \(f(x)\) 滿足

（1）在閉區間 \([a,b]\) 上連續；

（2）在開區間 \((a,b)\) 內可導，

那么在 \((a,b)\) 內至少有一點 \(\xi(a<\xi<b)\)，使等式

\[f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) \]

成立。

此外，上式也被稱作拉格朗日中值公式。

設 \(x\) 為區間 \([a,b]\) 內一點，\(x+\Delta x\) 為這區間內的另一點，則上式在這兩點上就成為

\[f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x+\theta \Delta x)\cdot\Delta x \]

其中 \(\theta\in(0,1)\)，記 \(f(x)\) 為 \(y\)，又有

\[\Delta y=f'(x+\theta\Delta x)\cdot\Delta x \]

一般來說，以 \({\rm d}y\) 近似代替 \(\Delta y\) 時產生的誤差只有在 \(\Delta x\to 0\) 時才趨於零，而這個式子給出了自變量取得有限增量 \(\Delta x\) 時，函數增量 \(\Delta y\) 的准確表達式。因此，這個定理又被稱作有限增量定理，有時也稱微分中值定理，稱上式為有限增量公式。

• 柯西中值定理

如果函數 \(f(x)\) 及 \(F(x)\) 滿足

（1）在閉區間 \([a,b]\) 上連續；

（2）在開區間 \((a,b)\) 內可導；

（3）對任一 \(x\in(a,b),F'(x)\ne 0\)，

那么在 \((a,b)\) 內至少有一點 \(\xi(a<\xi<b)\)，使等式

\[\dfrac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{F'(\xi)} \]

成立。

洛必達法則

設

（1）當 \(x\to x_0\)（或 \(x\to \infty\)）時，\(f(x)\) 和 \(F(x)\) 都趨於零；

（2）在點 \(a\) 的某去心鄰域內，\(f'(x)\) 和 \(F'(x)\) 都存在且 \(F'(x)\ne 0\)；

（3）\(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{F'(x)}\) 存在（或為無窮大），

則

\[\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{F'(x)} \]

泰勒公式

• 引入

設 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 處具有 \(n\) 階導數，試找出一個關於 \(x-x_0\) 的 \(n\) 次多項式

\[\begin{align} p_n(x)=\sum_{i=0}^na_i(x-x_0)^i\tag 1 \end{align} \]

來近似表達 \(f(x)\)，要求使得 \(p_n(x)\) 與 \(f(x)\) 之差是當 \(x\to x_0\) 時比 \((x-x_0)^n\) 高階的無窮小。

假設 \(p_n(x)\) 在 \(x_0\) 處的函數值及它的直到 \(n\) 階導數在 \(x_0\) 處的值依次與 \(f(x_0),f'(x_0),f''(x_0),\cdots,f^{(n)}(x_0)\) 相等，即滿足

\[p_n(x_0)=f(x_0),p_n'(x_0)=f'(x_0),\\ p_n''(x_0)=f''(x_0),\cdots,p_n^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)\\ \]

按這些等式來確定多項式 \((1)\) 的系數，可以得到：

\[a_0=f(x_0),1!\cdot a_1=f'(x_0),\\ 2!\cdot a_2=f''(x_0),\cdots,n!\cdot a_n=f^{(n)}(x_0) \]

代入 \((1)\) 式即可得到

\[p_n(x)=f(x_0)+\sum_{i=1}^n\dfrac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i\tag 2 \]

下面的定理表明，多項式 \((2)\) 的確是要找的 \(n\) 次多項式。

• 泰勒中值定理 \(1\)：

如果函數 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 處具有 \(n\) 階導數，那么存在 \(x_0\) 的一個鄰域，對於該鄰域內的任一 \(x\)，有

\[f(x)=f(x_0)+\sum_{i=1}^n\dfrac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i+R_n(x)\tag 3 \]

其中

\[R_n(x)=\omicron((x-x_0)^n)\tag 4 \]

證明時反復應用洛必達法則，最后能夠得到 \(\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}=\dfrac{1}{n!}R^{(n)}_n(x_0)=0\)。

多項式 \((2)\) 稱為函數 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 處（或按 \((x-x_0)\) 的冪展開）的 \(n\) 次泰勒多項式。

公式 \((3)\) 稱為 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 處（或按 \((x-x_0)\) 的冪展開）的帶有佩亞諾余項的 \(n\) 階泰勒公式。

表達式 \((4)\) 稱為佩亞諾余項，它就是用 \(n\) 次泰勒多項式來近似表達 \(f(x)\) 所產生的誤差，這一誤差是當 \(x\to x_0\) 時比 \((x-x_0)\) 高階的無窮小，但不能由它具體估算出誤差的大小，下面給出的具有另一種余項形式的泰勒定理則解決了這一問題。

• 泰勒中值定理 \(2\)：

如果函數 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某個鄰域 \(U(x_0)\) 內具有 \(n+1\) 階導數，那么對任一 \(x\in U(x_0)\)，有

\[f(x)=f(x_0)+\sum_{i=1}^n\dfrac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i+R_n(x)\tag 5 \]

其中

\[R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\tag 6 \]

這里 \(\xi\) 為 \(x\) 與 \(x_0\) 之間的一個值。

證明時反復應用柯西中值定理，得到 \((6)\) 式。

公式 \((5)\) 稱為 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 處（或按 \((x-x_0)\) 的冪展開）的帶有拉格朗日余項的 \(n\) 階泰勒公式。

表達式 \((6)\) 稱為拉格朗日余項。

此外，當 \(n=0\) 時，泰勒公式 \((5)\) 變為拉格朗日中值公式

\[f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0)\quad(\xi\,在\,x_0\,與\,x\,之間) \]

在泰勒公式 \((3)\) 中，如果取 \(x_0=0\)，那么有帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式

\[f(x)=f(0)+\sum_{i=1}^n\dfrac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i+\omicron(x^n) \]

在泰勒公式 \((5)\) 中，如果取 \(x_0=0\)，那么 \(\xi\) 在 \(0\) 與 \(x\) 之間，因此可以令 \(\xi=\theta x(0<\theta<1)\)，從而泰勒公式 \((5)\) 變成較簡單的形式，即帶有拉格朗日余項的麥克勞林公式

\[f(x)=f(0)+\sum_{i=1}^n\dfrac{f^{(i)}(0)}{i!}(x)^i+\dfrac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} \]

函數的單調性與曲線的凹凸性

• 單調性的判定

設函數 \(y=f(x)\) 在 \([a,b]\) 上連續，在 \((a,b)\) 內可導。

（1）如果在 \((a,b)\) 內 \(f'(x)\ge 0\)，且等號僅在有限多個點處成立，那么函數 \(y=f(x)\) 在 \([a,b]\) 上單調增加；

（2）如果在 \((a,b)\) 內 \(f'(x)\le 0\)，且等號僅在有限多個點處成立，那么函數 \(y=f(x)\) 在 \([a,b]\) 上單調減少。

• 曲線凹凸的定義

設 \(f(x)\) 在區間 \(I\) 上連續，如果對 \(I\) 上的任意兩點 \(x_1,x_2\)，恆有

\[f\left(\dfrac{x_1+x_2}{x}\right)<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \]

那么稱 \(f(x)\) 在 \(I\)​ 上的圖形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恆有

\[f\left(\dfrac{x_1+x_2}{x}\right)>\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \]

那么稱 \(f(x)\) 在 \(I\) 上的圖形是（向上）凸的（或凸弧）。

• 曲線凹凸的判定

設函數 \(y=f(x)\) 在 \([a,b]\) 上連續，在 \((a,b)\) 內具有一階和二階導數，那么

（1）若在 \((a,b)\) 內 \(f''(x)>0\)，則 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的圖形是凹的；

（2）若在 \((a,b)\) 內 \(f''(x)<0\)，則 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的圖形是凸的；

一般的，設 \(f(x)\) 在區間 \(I\) 上連續，\(x_0\) 是 \(I\) 內的點。如果曲線 \(y=f(x)\) 在經過點 \((x_0,f(x_0))\) 時，曲線的凹凸性改變了，那么就稱點 \((x_0,f(x_0))\) 為這曲線的拐點。

不定積分

• 原函數的定義

如果在區間 \(I\) 上，可導函數 \(F(x)\) 的導函數為 \(f(x)\)，即對任一 \(x\in I\)，都有

\[F'(x)=f(x)\quad或\quad{\rm d}F(x)=f(x){\rm d}x \]

那么函數 \(F(x)\) 就稱為 \(f(x)\)（或 \(f(x){\rm d}x\)）在區間 \(I\) 上的一個原函數。

• 原函數存在定理

如果函數 \(f(x)\) 在區間 \(I\) 上連續，那么在區間 \(I\) 上存在可導函數 \(F(x)\)，使對任一 \(x\in I\) 都有

\[F'(x)=f(x) \]

簡單來說就是：連續函數一定有原函數。

• 不定積分的定義

在區間 \(I\) 上，函數 \(f(x)\) 的帶有任意常數項的原函數稱為 \(f(x)\)（或 \(f(x){\rm d}x\)）在區間 \(I\) 上的不定積分，記作

\[\int f(x){\rm d}x \]

其中記號 \(\displaystyle{\int}\) 稱為積分號，\(f(x)\) 稱為被積函數，\(f(x){\rm d}x\) 稱為被積表達式，\(x\) 稱為積分變量。

由不定積分的定義，不難得到下述關系：

由於 \(\displaystyle{\int f(x){\rm d}x}\) 是 \(f(x)\) 的原函數，所以有

\[\dfrac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left[\int f(x){\rm d}x\right]=f(x) \]

或

\[{\rm d}\left[\int f(x){\rm d}x\right]=f(x){\rm d}x \]

又由於 \(F(x)\) 是 \(F'(x)\) 的原函數，所以

\[\int F'(x){\rm d}x=F(x)+C \]

或

\[\int {\rm d}F(x)=F(x)+C \]

由此可見，微分運算和積分運算是互逆的，當 \(\displaystyle\int\) 和 \({\rm d}\) 連在一起時，或者抵消，或者抵消后差一個常數 \(C\)

• 基本積分表

\[\begin{aligned} \int k{\rm d}x&=kx+C\quad(k是常數)\\ \int x^\mu{\rm d}x&=\dfrac{x^{\mu+1}}{\mu +1}+C\quad(\mu\ne -1)\\ \int \dfrac{{\rm d}x}{x}&=\ln |x|+C\\ \int a^x{\rm d}x&=\dfrac{a^x}{\ln a}+C\\ \int e^x{\rm d}x&=e^x+C\\ \int \dfrac{{\rm d}x}{1+x^2}&=\arctan x+C\\ \int \dfrac{{\rm d}x}{\sqrt{1-x^2}}& =\arcsin x+C\\ \int\cos x{\rm d}x&=\sin x+C\\ \int \sin x{\rm d}x&=-\cos x+C\\ \int \dfrac{{\rm d}x}{\cos^2x}&=\int \sec^2x{\rm d}x=\tan x+C\\ \int \dfrac{{\rm d}x}{\sin^2x}&=\int \csc^2x{\rm d}x=-\cot x+C\\ \int \sec x\tan x{\rm d}x&=\sec x+C\\ \int \csc x\cot x{\rm d}x&=-\csc x+C\\ \end{aligned} \]

換元積分法

把復合函數的微分法反過來用於求不定積分，利用變量的代換，得到渡河函數的積分法，稱為換元積分法。

• 第一類換元法

設 \(f(u)\) 具有原函數 \(F(u)\)，即

\[f(u)=F'(u) \]

如果 \(u\) 是中間變量 \(u=\varphi(x)\)，且 \(\varphi(x)\) 可微，那么根據復合函數的微分法，可得

\[{\rm d}F(\varphi(x))=f[\varphi(x)]\varphi'(x){\rm d}x \]

從而根據不定積分的定義有

\[\int f[\varphi(x)]\varphi'(x){\rm d}x=F(\varphi(x))+C=\left[\int f(u){\rm d}u\right]_{u=\varphi(x)} \]

於是有如下定理：

設 \(f(u)\) 具有原函數，\(u=\varphi(x)\) 可導，則有換元公式

\[\int f[\varphi(x)]\varphi'(x){\rm d}x=\left[\int f(u){\rm d}u\right]_{u=\varphi(x)}\tag 1 \]

如何應用公式 \((1)\) 來求不定積分？設要求 \(\displaystyle\int g(x){\rm d}x\)，如果函數 \(g(x)\) 可以化為 \(g(x)=f[\varphi(x)]\varphi'(x)\) 的形式，那么

\[\int g(x){\rm d}x=\int f[\varphi(x)]\varphi'(x){\rm d}x=\left[\int f(u){\rm d}u\right]_{u=\varphi(x)} \]

這樣，函數 \(g(x)\) 的積分就轉化為了 \(f(u)\) 的積分，只需要求 \(f(u)\) 的原函數即可。

• 第二類換元法

適當的選擇變量代換 \(x=\psi(t)\)，將積分 \(\displaystyle\int f(x){\rm d}x\) 化為積分 \(\displaystyle\int f[\psi(t)]\psi'(t){\rm d}t\)

成立的條件：

1. 等式右邊的不定積分存在，即 \(f[\psi(t)]\psi'(t){\rm d}t\) 有原函數。
2. \(x=\psi(t)\) 的反函數存在且可導。

設 \(x=\psi(t)\) 是單調的可導函數，並且 \(\psi'(t)\ne 0\)，又設 \(f[\psi(t)]\psi'(t)\) 具有原函數，則有換元公式

\[\int f(x){\rm d}x=\left[\int f[\psi(t)]\psi'(t){\rm d}t \right]_{t=\psi^{-1}(x)} \]

其中 \(\psi^{-1}(x)\) 是 \(x=\psi(t)\) 的原函數。

分部積分法

設函數 \(u=u(x)\) 和 \(v=v(x)\) 具有連續導數，則兩個函數乘積的導數公式為

\[(uv)'=u'v+uv' \]

移項，得

\[uv'=(uv)'-u'v \]

對兩邊分別求不定積分，得

\[\int uv'{\rm d}x=uv-\int u'v{\rm d}x \]

簡便起見也記為

\[\int u{\rm d}v=uv-\int v{\rm d}u \]

定積分

• 定義

設函數 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界，在 \([a,b]\) 中任意插入若干個分點

\[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b \]

把區間 \([a,b]\) 分成 \(n\) 個小區間

\[[x_0,x_1],[x_1,x_2],\cdots,[x_{n-1},x_n] \]

各個小區間的長度依次為

\[\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,\cdots,\Delta x_n=x_n-x_{n-1} \]

在每個小區間 \([x_{i-1},x_i]\) 上任取一點 \(\xi_i(x_{i-1}<\xi_i<x_i)\)，作函數值 \(f(\xi_i)\) 與小區間長度 \(\Delta x_i\) 的乘積 \(f(\xi_i)\Delta x_i\) 並作出和

\[S=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i \]

記 \(\lambda=\max\{\Delta x_i\}\)，如果當 \(\lambda\to 0\) 時，這和的極限總存在，且與閉區間 \([a,b]\) 的分法和點 \(\xi_i\) 的取法無關，那么稱這個極限 \(I\) 為函數 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上的定積分（簡稱積分），記作 \(\displaystyle\int_a^b f(x){\rm d}x\)，即

\[\int_a^bf(x){\rm d}x=I=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i \]

其中 \(f(x)\) 叫做被積函數，\(f(x){\rm d}x\) 叫做被積表達式，\(x\) 叫做積分變量，\(a\) 叫做積分下限，\(b\) 叫做積分上限，\([a,b]\) 叫做積分區間。

• 函數 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可積的條件

兩個充分條件：

設 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上連續，則 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可積。

設 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上有界，且只有有限個間斷點，則 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可積。

定積分的性質

補充規定：

（1）當 \(b=a\) 時，\(\displaystyle\int_a^af(x){\rm d}x=0\)

（2）當 \(a>b\) 時，\(\displaystyle\int_a^bf(x){\rm d}x=-\int_b^af(x){\rm d}x\)

1. 設 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 均為常數，則

\[\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]{\rm d}x=\alpha\int_a^bf(x){\rm d}x+\beta\int_a^bg(x){\rm d}x \]

2. 設 \(a<c<b\)，則

\[\int_a^bf(x){\rm d}x=\int_a^c f(x){\rm d}x+\int_c^bf(x){\rm d}x \]

3. 如果在區間 \([a,b]\) 上 \(f(x)\equiv 1\)，那么

\[\int_a^b 1{\rm d}x=\int _a^b {\rm d}x=b-a \]

4. 如果在區間 \([a,b]\) 上 \(f(x)\ge 0\)，那么

\[\int_a^b f(x){\rm d}x\ge 0 \]

推論1. 如果在區間 \([a,b]\) 上 \(f(x)\le g(x)\)，那么

\[\int_a^bf(x){\rm d}x\le \int_a^b g(x){\rm d}x\quad(a<b) \]

推論2. \(\displaystyle\left|\int_a^bf(x){\rm d}x\right|\le \int_a^b\left|f(x)\right|{\rm d}x\quad(a<b)\)

5. 設 \(M\) 和 \(m\) 分別是函數 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上的最大值和最小值，則

\[m(b-a)\le \int_a^bf(x){\rm d}x\le M(b-a) \]

6. 定積分中值定理

如果函數 \(f(x)\) 在積分區間 \([a,b]\) 內連續，那么在 \([a,b]\) 上至少存在一個點 \(\xi\) 使下式成立：

\[\int_a^bf(x){\rm d}x=f(\xi)(b-a)\quad(a\le \xi\le b) \]

這個公式也被稱為積分中值公式。

微積分基本公式

• 積分上限的函數及其導數

如果函數 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上連續，那么積分上限的函數

\[\Phi(x)=\int_a^xf(t){\rm d}t \]

在 \([a,b]\) 上可導，並且它的導數

\[\Phi'(x)=\dfrac{{\rm d}}{{\rm d}x}\int_a^xf(t){\rm d}t=f(x)\quad(a\le x\le b) \]

這個定理指出了一個重要結論：連續函數 \(f(x)\) 取變上限 \(x\) 的定積分然后求導，其結果還原為 \(f(x)\) 本身，因此，我們引出如下的原函數存在定理。

如果函數 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上連續，那么函數

\[\Phi(x)=\int_a^xf(t){\rm d}t \]

就是 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上的一個原函數。

• 牛頓 — 萊布尼茨公式（微積分基本定理）

如果函數 \(F(x)\) 是連續函數 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上的一個原函數，那么

\[\int_a^bf(x){\rm d}x=F(b)-F(a) \]

證明如下：

已知函數 \(F(x)\) 是連續函數 \(f(x)\) 的一個原函數，又根據如上定理知，積分上限的函數

\[\Phi(x)=\int_a^xf(t){\rm d}t \]

也是 \(f(x)\) 的一個原函數，所以這兩個原函數之差在 \([a,b]\) 上是常數 \(C\)，即

\[F(x)-\Phi(x)=C\quad(a\le x\le b) \]

在上式中令 \(x=a\)，得 \(F(a)-\Phi(a)=C\)，代入 \(\Phi(a)\) 的定義式可知 \(\Phi(a)=0\)，因此 \(C=F(a)\)，再代入上式中的 \(C\) 可得

\[\int_a^xf(t){\rm d}t=F(x)-F(a) \]

令 \(x=b\) 即得證。

為了方便起見，把 \(F(b)-F(a)\) 記作 \([F(x)]_a^b\)，於是上式也可寫成

\[\int_a^bf(x){\rm d}x=[F(x)]_a^b \]

定理中的公式叫做牛頓 — 萊布尼茨公式，也叫做微積分基本公式。

它進一步揭示了定積分與被積函數的原函數或不定積分之間的聯系，它表明：一個連續函數在區間 \([a,b]\) 上的定積分等於它任何一個原函數在區間 \([a,b]\) 上的增量。這就給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法，大大簡化了定積分的計算手續。

• 積分中值定理

若函數 \(f(x)\) 在閉區間 \([a,b]\) 上連續，則在開區間 \((a,b)\) 內至少存在一點 \(\xi\) 使

\[\int_a^bf(x){\rm d}x=f(\xi)(b-a)\quad(a<\xi<b) \]

證明時根據牛頓 — 萊布尼茨公式和微分中值定理即可。

定積分的換元法

假設函數 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上連續，函數 \(x=\varphi(t)\) 滿足條件：

（1）\(\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b\)

（2）\(\varphi(t)\) 在 \([\alpha,\beta]\,(或\,[\beta,\alpha])\) 上具有連續導數，且其值域 \(R_\varphi=[a,b]\) （或超出 \([a,b]\) 但仍滿足其他條件，且 \(f(x)\) 在 \(R_\varphi\) 上連續），則有

\[\int_a^bf(x){\rm d}x=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t){\rm d}t \]

也就是說，定積分中的 \({\rm d}x\) 在一定條件下也可以看作微分記號來對待，從而應用換元公式求解定積分。

定積分的分部積分法

依據不定積分的分部積分法，可得

\[\begin{aligned} &\int_a^bu(x)v'(x){\rm d}x\\ =&\left[\int u(x)v'(x){\rm d}x \right]_a^b\\ =&\left[u(x)v(x)-\int v(x)u'(x){\rm d}x \right]_a^b\\ =&[u(x)v(x) ]_a^b-\int_a^bv(x)u'(x){\rm d}x\\ \end{aligned} \]

簡記作

\[\int_a^buv'{\rm d}x=[uv]_a^b-\int_a^bvu'{\rm d}x \]

或

\[\int_a^bu{\rm d}v=[uv]_a^b-\int_a^bv{\rm d}u \]