攻克高等數學極限

一、求函數極限的常用方法

1.1 利用有理運算法

1. 存在 +- 不存在 = 不存在
2. 存在 *÷ 不存在 = 不一定
3. 不存在 +-*÷ 不存在 = 不一定

1.2 利用基本極限求極限

\[\begin{aligned} & \lim_{n\to\infin}\sqrt[n]n=1 \\ & \lim_{n\to\infin}\sqrt[n]a=1 \\ \end{aligned} \]

1.3 利用等價無窮小替換

\[\begin{aligned} & \alpha{x}-1\backsim{xln\alpha} \\ & x-\ln{(1+x)} \backsim\frac{x^2}{2} \\ & \arctan{x}<\sin{x}<x<\arcsin{x}<\tan{x} \qquad\text{方便記憶下面幾個無窮小替換} \\ & x-\arctan{x} = \frac{x^3}{3} \\ & x-\sin{x} = \frac{x^3}{6} \\ & \arcsin{x}-x = \frac{x^3}{6} \\ & \tan{x}-x = \frac{x^3}{3} \end{aligned} \]

1. 當 \(\frac{f(x)}{g(x)}=1\)，\(\int_0^x f(t)dt \backsim \int_0^x g(t)dt\)

2. 等價無窮小代換原則：

   1. 乘除關系可以隨便換
   2. 加減關系一定條件下可以換（原則就是代換后的結果加減不能為0）

若 \(\alpha\backsim\alpha_1\,,\beta\backsim\beta_1\)，且 \(\lim \frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq{1}\)，則 \(\alpha-\beta\backsim\alpha_1-\beta_1\)
若 \(\alpha\backsim\alpha_1\,,\beta\backsim\beta_1\)，且 \(\lim \frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq{-1}\)，則 \(\alpha+\beta\backsim\alpha_1+\beta_1\)

1.4 利用洛必達

1. 略

1.5 利用泰勒公式

\[\begin{aligned} & e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n) \\ & \sin{x} = x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} \\ & \cos{x} = 1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^n}{2n!}+o(n^2n) \\ & \ln{(x+1)} = x-\frac{x^2}{2}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n) \\ & \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots \\ & \frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n \\ \end{aligned} \]

1.6 利用夾逼准則

1. 略

1.7 利用定積分定義

1. 略

1.8 利用單調有界准則

1. 略

1.9 利用拉格朗日中指定理

1. 略

二、求函數極限的常見題型

2.1 \(\frac{0}{0}\) （重點）

1. 核心思想：消去分母中的 0 因子

2. 常用操作

   1. 洛必達
   2. 等價無窮小代換
   3. 泰勒公式

2.2 \(\frac{\infin}{\infin}\)

1. 常用方法：

   1. 洛必達
   2. 分子分母同時除以各項中最高階的無窮大

2.3 \(0*\infin\)

1. 常用方法：

   1. 化為 \(\frac{0}{0} 或 \frac{\infin}{\infin}\)
   2. 可以把 0 進行無窮小替換

2.4 \(\infin-\infin\)

1. 常用方法：

   1. （分式差）通分化變成 \(\frac{0}{0} 或 \frac{\infin}{\infin}\)
   2. （根式差）根式有理化變成 \(\frac{0}{0} 或 \frac{\infin}{\infin}\)
   3. 提取無窮因子，變成 \((1+x)^\alpha-1\) 的形式

2.5 \(1^\infin\) （重點）

1. 最好的方法：

   1. 寫成標准形式：\(原式=\lim{[1+\alpha(x)]^{\beta{(x)}}}\)
   2. 求極限：\(\lim{\alpha(x)\beta(x)}=A\)
   3. 寫結果：\(原式=e^A\)

2.6 \(\infin^{0}和0^0\)

1. 常用方法：

   1. \(\lim{[f(x)]^{g(x)}}=\lim{{e}^{g(x)\ln{f(x)}}}\)

三、數列極限

3.1 不定式的數列極限

1. 注意數列極限中的 n 需要改成 x 才能使用洛必達或其他方法，因為 n 是離散點，x 是連續點

3.2 n 項和

1. 夾逼定理
2. 定積分定義
3. 注：當變化部分相對於主要部分為次量級，用夾逼；當變化部分相對於主要部分為同量級，用定積分定義

3.3 n 項連乘

1. 夾逼定理
2. 取對數化為 n 項和

3.4 遞推關系

3.4.1 方法一

1. 先證 \(\{x_n\}\)收斂（單調有界准則）

2. 利用等式 \(x_{n+1}=f(x_n)\) 兩邊取極限求出 A

3. 證明 \(\{x_n\}\) 單調方法：

   1. \(x_{n+1}-x_n\)
   2. \(\{x_n\}\) 不變號，且 \(\frac{x_{n+1}}{x_n}\geq{1}(\leq{1})\)
   3. 通過 \(f(x_n)\) 單調性判斷：

\(f(x_n)\) 單調增，\(x_1\leq{x_2}\)，\(\{x_n\}\) 單調增
\(f(x_n)\) 單調增，\(x_1\geq{x_2}\)，\(\{x_n\}\) 單調減
\(f(x_n)\) 單調減，\(\{x_n\}\) 不單調，只能用方法二

3.4.2 方法二

1. 先利用遞推等式求出 A，然后假設 \(\lim_{n\to\infin} x_n = A\)
2. 然后利用遞推關系證明 \(|x_n-A| < B|x_{n-1}-A|\)，其中只要 \(B\in(0,1)\)
3. 最后利用遞推式證明 \(0<|x_n-A|<B^{n-1}|x_1-A|<0\)，得證

四、求極限的化簡技巧（積累）

1. 看到 \(\frac{1}{x}\)，可以考慮倒代換
2. 無窮大 + 無窮大，低階無窮大可以忽略；無窮小 + 無窮小，高階無窮小可以忽略
3. \(x\to-\infin\) 時，除以 \(-x\) 可以避免因子出現正負問題
4. 遇到非 0 因子一定要先求出，然后提出來
5. \({\frac{x}{x-a}}^x \implies {\frac{x-a}{x}}^{-x}\)

6. \[\]

\[\]