高等數學四：補充--求極限方法歸納

 

 

 

關於等價無窮小的轉化：

只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用 , 前提是必須證明拆分后極限依然存在,e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等價於Ax 等等。

面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法,取大頭原則 最大項除分子分母！！！看上去復雜,處理很簡單 。

無窮小於有界函數的處理辦法,面對復雜函數時候,尤其是正余弦的復雜函數與其他函數相乘的時候,一定要注意這個方法。面對非常復雜的函數 ，可能只需要知道它的范圍結果就出來了！！！
 還有個方法，非常方便的方法,就是當趨近於無窮大時候,不同函數趨近於無窮的速度是不一樣的！！！x的x次方快於 x！ 快於指數函數，快於冪數函數，快於對數函數（畫圖也能看出速率的快慢）!!當x趨近無窮的時候 ，他們的比值的極限一眼就能看出來了。

 

 

 

關於洛必達法則：

首先他的使用有嚴格的使用前提！！ 必須是 X趨近而不是N趨近！！！（所以面對數列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件（還有一點數列極限的n當然是趨近於正無窮的，不可能是負無窮！）必須是函數的導數要存在！！！！（假如告訴你g（x）, 沒告訴你是否可導，直接用，無疑於找死！！）必須是0比0 無窮大比無窮大！當然還要注意分母不能為0。洛必達法則分為3種情況：0比0 無窮比無窮時候直接用；0乘以無窮，無窮減去無窮（應為無窮大於無窮小成倒數的關系）所以無窮大都寫成了無窮小的倒數形式了。通項之后這樣就能變成第一種的形式了；0的0次方 ，1的無窮次方，無窮的0次方。對於（指數冪數）方程方法主要是取指數還取對數的方法，這樣就能把冪上的函數移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近於無窮時候他的冪移下來趨近於0 ， 當他的冪移下來趨近於無窮的時候 ，LNX趨近於0）。

關於泰勒公式：

(含有e的x次方的時候 ,尤其是含有正余弦的加減的時候要特變注意！！！！）E的x展開 sina ， 展開 cosa,展開ln1+x ,對題目簡化有很好幫助。

直接使用求導數的定義來求極限，（一般都是x趨近於0時候，在分子上f（x加減某個值）加減f（x）的形式,看見了要特別注意）（當題目中告訴你F(0)=0時候  f（0）導數=0的時候 ，就是暗示你一定要用導數定義！

 

 

關於夾逼定理：

主要對付的是數列極限！這個主要是看見極限中的函數是方程相除的形式，放縮和擴大。

關於求左右極限：

（對付數列極限）例如知道Xn與Xn+1的關系，已知Xn的極限存在的情況下, xn的極限與xn+1的極限時一樣的 ，因為極限去掉有限項目極限值不變化。

關於兩個重要極限：

這兩個很重要！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值 。 第2個就如果x趨近無窮大 ，無窮小都有對有對應的形式（第2個實際上是用於函數是1的無窮的形式 ）（當底數是1的時候要特別注意可能是用地兩個重要極限）

各項的拆分相加（來消掉中間的大多數）（對付的還是數列極限）可以使用待定系數法來拆分化簡函數。

換元法 是一種技巧,不會對單一道題目而言就只需要換元，而是換元會夾雜其中。

 

關於函數的特性：

     函數是表皮 ,函數的性質也體現在積分微分中。例如他的奇偶性質他的周期性。還有復合函數的性質：

     1、奇偶性，奇函數關於原點對稱  偶函數關於軸對稱偶函數左右2邊的圖形一樣（奇函數相加為0）；

     2、周期性也可用在導數中在定積分中也有應用 定積分中的函數是周期函數積分的周期和他的一致；

     3、復合函數之間是自變量與應變量互換的關系  ；

     4、還有個單調性。(再求0點的時候可能用到這個性質！（可以導的函數的單調性和他的導數正負相關）:o再就是總結一下間斷點的問題（應為一般函數都是連續的 所以間斷點是對於間斷函數而言的）間斷點分為第一類 和第二類剪斷點。第一類是左右極限都存在的（左右極限存在但是不等跳躍的的間斷點或者左右極限存在相等但是不等於函數在這點的值可取的間斷點；第二類間斷點是震盪間斷點或者是無窮極端點（這也說明極限即使不存在也有可能是有界的）。
   

    三、求極限的一般題型：

     1、求分段函數的極限  ，當函數含有絕對值符號時，就很有可能是有分情況討論的了！！！當X趨近無窮時候存在e的x次方的時候 ， 就要分情況討論應為E的x次方的函數正負無窮的結果是不一樣的！！！！

     2、極限中含有變上下限的積分如何解決嘞？？？？說白了，就是說函數中現在含有積分符號，這么個符號在極限中太麻煩了你要想辦法把它搞掉！！！

 

    四、解決辦法 ：

     1、求導，邊上下限積分求導， 當然就能得到結果了，這不是很容易么？但是！有2個問題要注意！！！！問題1：積分函數能否求導？ 題目沒說積分可以導的話，直接求導的話是錯誤的！！！！問題2 ：被積分函數中既含有t又含有x的情況下如何解決？？？？？？

     解決1的方法： 就是方法2 微分中值定理！微分中值定理是函數與積分的聯系！ 更重要的是他能去掉積分符號！！解決2的方法 ：當x與t的函數是相互乘的關系的話，把x看做常數提出來 ，再求導數！！當x 與t是除的關系  或者是加減的關系,就要換元了！（換元的時候積分上下限也要變化！！！！）
     3、求的是數列極限的問題時候:夾逼或者分項求和定積分都不可以的時候,就考慮x趨近的時候函數值,數列極限也滿足這個極限的 ,當所求的極限是遞推數列的時候: 首先:判斷數列極限存在極限的方法是否用的單調有界的定理 。判斷單調性不能用導數定義！！數列是離散的 ,只能用 前后項的比較（前后項相除相減），數列極限是否有界可以使用歸納法 最后對xn 與xn+1兩邊同時求極限,就能出結果了！！
     4、涉及到極限已經出來了讓你求未知數和位置函數的問題。解決辦法：主要還是運用等價無窮小 或者是同階無窮小。因為例如 :當x趨近0時候  f（x）比x=3  的函數  ,分子必須是無窮小 ，否則極限為無窮,還有洛必達法則的應用 ,主要是因為當未知數有幾個時候,使用洛必達法則,可以消掉某些未知數，求其他的未知數。
     5、極限數列涉及到的證明題 ，只知道是要構造新的函數，但是不太會！！！

     五、間斷點的題型： 
    首先，遇見間斷點的問題、連續性的問題、復合函數的問題， 在某個點是否可導的問題。主要解決辦法一個是畫圖，你能畫出反例來當然不可以了 ，你實在畫不出反例，就有可能是對的，尤其是那些考概念的題目， 難度不小，對我而言證明很難的！我就畫圖！！我要能畫出來當然是對的，在這里就要很好的理解一階導的性質2階導的性質，函數圖形的凹凸性，函數單調性函數的奇偶性在圖形中的反應！！！（在這里尤其要注意分段函數！ （例如分段函數導數存在還相等  但是卻不連續  這個性質就比較特殊！！應為一般的函數都是連續的）；
    方法2 就是舉出反例！（在這里也是尤其要注意分段函數！！）例如 一個函數是個離散函數，還有個也是離散函數他們的復合函數是否一定是離散的嘞？答案是NO ，舉個反例就可以了；
     方法3 上面的都不行那就只好用定義了，主要是寫出公式 ，連續性的公式，求在某一點的導數的公式

    六、函數在某一點是否可導的問題總結

    1、首先 函數連續不一定可導， 分段函數x絕對值函數在（0，0）不可導，我的理解就是：不可導=在這點上圖形不光滑。可導一定連續， 因為他有個前提， 在點的鄰域內有定義，假如沒有這個前提，分段函數左右的導數也能相等；
   主要考點 1：函數在某一點可導，他的絕對值函數在這點是否可導 ？解決辦法：記住函數絕對值的導數等於  f（x）除以 （絕對值（f（x）））  再 乘以F（x）的導數 。所以判斷絕對值函數不可導點，首先判斷函數等於0的點，找出這些點之后，這個導數並不是百分百不存在，原因很簡單分母是無窮小，假如分子式無窮小的話，絕對值函數的導數依然存在啊，所以還要找出f（a）導數的值，不為0的時候， 絕對值函數在這點的導數是無窮  ， 所以絕對值函數在這些點上是不可導的啊。
   考點2  ：處處可導的函數與在，某一些點不可導但是連續的函數相互乘的函數，這個函數的不可導點的判斷，直接使用導數的定義就能證明 ，我的理解是f（x）連續的話但是不可導，左右導數存在但是不等，左右導數實際上就是X趨近a的2個極限，  f（x）乘以G（x）的函數在x趨近a的時候，f（x）在這點上的這2個極限乘以g（a），當g（a）等於0的時候，左右極限乘以0當然相等了，乘積的導數=f（a）導數乘以G(a)  +G(a)導數乘以F（a），應為f（a）導數乘以G(a)  =0，前面推出來了，所以乘積函數在這點上就可導了。導數為G(a)導數乘以F（a）。