數列極限的定義：
給定數列{xn}或xn=f(n)，A為常數。如果∀ε> 0（∀表示任意、每一個，ε表示存在，這里的∀ε表示數列中的任意一個數值、每一個數值），∃N > 0(∃表示存在，N表示一個正整數，∃N表示存在一個正整數) ，當n >N時，有|xn - A| < ε；則稱數列{xn}以A為極限，或稱數列{xn}收斂於A，記為
不等式中的ε的雙重性：
1、任意性：不等式|xn - a| < ε刻划了xn與a的無限接近程度，ε愈小，表示接近得愈好；而正數ε可以任意地小，說明xn與a可以接近到任何程度。然而，盡管ε有其任意性，但一經給出正整數N，ε就暫時地被確定下來，以便依靠它來求出ε，又ε既是任意小的 正數，那么ε/2,ε的平方等等同樣也是任意小的正數，因此定義中 不等式|xn - A| < ε中的 ε可用ε/2,ε的平方等來代替。同時，正由於ε是任意小正數，我們可限定ε小於一個確定的正數．另外，定義1中的|xn - A| < ε也可改寫成|xn - A| ≦ ε。
2、相應性：一般說，N隨ε的變小而變大，由此常把N寫作N(ε)，來強調N是依賴於ε的；但這並不意味着N是由ε所唯一確定的，因為對給定的 ，比如當N=100時，能使得當n>N時有||xn - A| < ε，則N=101或更大時此不等式自然也成立．這里重要的是N的存在性，而不在於它的值的大小．另外，定義1中的，n > N也可改寫成n≧N。
分析 ：
當n無限增大時, xn無限接近於A .
⇔當n無限增大時,|xn - A|無限接近於0 .
⇔當n無限增大時, |xn - A|可以任意小, 要多小就能有多小.
⇔當n增大到一定程度以后, |xn - A|能小於事先給定的任意小的正數.
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn - A|能小於事先給定的任意小的正數, 則當n無限增大時, |xn - A|無限接近於常數A。
將xn無限接近於A，數學符號化為： “∀ϵ>0， |xn - A| < ϵ∀ϵ > 0， |xn - A| < ϵ”
將n無限大時，數學符號化為：∃N, n > N
同樣的，如果這樣的常數A不存在，就說數列{xn}沒有極限，或者說{xn}是發散的。
示例：
數列極限，是一個特殊的極限；更普通性的是函數極限。
領域：對於
區間的集合，稱為a的鄰域，記作
，a為鄰域的中心，δ為鄰域的半徑
去心領域：在 a 的鄰域中去掉a 的數的集合，記作
。
函數的極限的定義：
設函數 
在點 
的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數A，對於任意給定的正數 
（無論它多么小）（即∀ϵ > 0），總存在正數
（即E
> 0），使得當x滿足不等式
時，對應的函數值
都滿足不等式：
，則A就叫做函數
當
時的極限，記作
由函數極限的定義可知， 在 處的極限僅與 的去心領域內的值有關，而與 在 處的值無關。f()甚至可以不定義。對於x --> x0，的函數極限要比數列極限復雜得多；數列中n只會無限趨近於正無窮大+∞，而函數極限分區分左趨近和右趨近，具體表示如下：
用ϵ -- 語言，表示函數極限x -> x0的定義：
<=> ∀ε> 0，E > 0，當 時，則 。
1、自變量趨於有限值x0時，函數的極限
- x -> x0
- x ->x0+
- x ->x0-
用ϵ -- X 語言，表示函數極限x -> ∞ 的定義：
<=> ∀ε> 0，E > 0，當 |x| > X時，則 。
2、自變量趨於無窮大時，函數的極限
- x -> ∞
- x -> +∞
- x -> -∞
考察函數f(x)自變量變化過程的以上六種形式。
x --> x0分析：
示例：證明
左、右極限（單側極限）：
x -> ∞分析：
通常使用表示δ一個很小的數，使用X表示一個很大的數。
示例：
函數極限存在的充要條件：
函數極限存在，則必有左右極限，且左右極限相等。
函數極限的性質：
定理1：函數極限唯一性
定理2：函數極限的局部有界性
證明：
定理3：函數極限的局部保號性
證明：
極限存在的兩個准則：
准則1：兩邊夾
准則2：單調且有界數列，必有極限
兩個重要的極限：
第一個重要極限，使用了極限存在的第一個准則，兩邊夾准則來證明。
第二個重要極限，使用了極限存在的第二個准則，單調且有界准則。
兩個重要極限的通用格式：
極限的四則運算
練習：
練習2、3：
練習4：
只要沒有特殊說明n -> ∞，這里f(x)指的是數列極限。其中x是一個常量，參量，n才是自變量。
先求出f(x)：
再求要求的：
