数列极限的定义：
给定数列{xn}或xn=f(n)，A为常数。如果∀ε> 0（∀表示任意、每一个，ε表示存在，这里的∀ε表示数列中的任意一个数值、每一个数值），∃N > 0(∃表示存在，N表示一个正整数，∃N表示存在一个正整数) ，当n >N时，有|xn - A| < ε；则称数列{xn}以A为极限，或称数列{xn}收敛于A，记为
不等式中的ε的双重性：
1、任意性：不等式|xn - a| < ε刻划了xn与a的无限接近程度，ε愈小，表示接近得愈好；而正数ε可以任意地小，说明xn与a可以接近到任何程度。然而，尽管ε有其任意性，但一经给出正整数N，ε就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出ε，又ε既是任意小的 正数，那么ε/2,ε的平方等等同样也是任意小的正数，因此定义中 不等式|xn - A| < ε中的 ε可用ε/2,ε的平方等来代替。同时，正由于ε是任意小正数，我们可限定ε小于一个确定的正数．另外，定义1中的|xn - A| < ε也可改写成|xn - A| ≦ ε。
2、相应性：一般说，N随ε的变小而变大，由此常把N写作N(ε)，来强调N是依赖于ε的；但这并不意味着N是由ε所唯一确定的，因为对给定的 ，比如当N=100时，能使得当n>N时有||xn - A| < ε，则N=101或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义1中的，n > N也可改写成n≧N。
分析 ：
当n无限增大时, xn无限接近于A .
⇔当n无限增大时,|xn - A|无限接近于0 .
⇔当n无限增大时, |xn - A|可以任意小, 要多小就能有多小.
⇔当n增大到一定程度以后, |xn - A|能小于事先给定的任意小的正数.
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn - A|能小于事先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, |xn - A|无限接近于常数A。
将xn无限接近于A，数学符号化为： “∀ϵ>0， |xn - A| < ϵ∀ϵ > 0， |xn - A| < ϵ”
将n无限大时，数学符号化为：∃N, n > N
同样的，如果这样的常数A不存在，就说数列{xn}没有极限，或者说{xn}是发散的。
示例：
数列极限，是一个特殊的极限；更普通性的是函数极限。
领域：对于
区间的集合，称为a的邻域，记作
，a为邻域的中心，δ为邻域的半径
去心领域：在 a 的邻域中去掉a 的数的集合，记作
。
函数的极限的定义：
设函数 
在点 
的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 
（无论它多么小）（即∀ϵ > 0），总存在正数
（即E
> 0），使得当x满足不等式
时，对应的函数值
都满足不等式：
，则A就叫做函数
当
时的极限，记作
由函数极限的定义可知， 在 处的极限仅与 的去心领域内的值有关，而与 在 处的值无关。f()甚至可以不定义。对于x --> x0，的函数极限要比数列极限复杂得多；数列中n只会无限趋近于正无穷大+∞，而函数极限分区分左趋近和右趋近，具体表示如下：
用ϵ -- 语言，表示函数极限x -> x0的定义：
<=> ∀ε> 0，E > 0，当 时，则 。
1、自变量趋于有限值x0时，函数的极限
- x -> x0
- x ->x0+
- x ->x0-
用ϵ -- X 语言，表示函数极限x -> ∞ 的定义：
<=> ∀ε> 0，E > 0，当 |x| > X时，则 。
2、自变量趋于无穷大时，函数的极限
- x -> ∞
- x -> +∞
- x -> -∞
考察函数f(x)自变量变化过程的以上六种形式。
x --> x0分析：
示例：证明
左、右极限（单侧极限）：
x -> ∞分析：
通常使用表示δ一个很小的数，使用X表示一个很大的数。
示例：
函数极限存在的充要条件：
函数极限存在，则必有左右极限，且左右极限相等。
函数极限的性质：
定理1：函数极限唯一性
定理2：函数极限的局部有界性
证明：
定理3：函数极限的局部保号性
证明：
极限存在的两个准则：
准则1：两边夹
准则2：单调且有界数列，必有极限
两个重要的极限：
第一个重要极限，使用了极限存在的第一个准则，两边夹准则来证明。
第二个重要极限，使用了极限存在的第二个准则，单调且有界准则。
两个重要极限的通用格式：
极限的四则运算
练习：
练习2、3：
练习4：
只要没有特殊说明n -> ∞，这里f(x)指的是数列极限。其中x是一个常量，参量，n才是自变量。
先求出f(x)：
再求要求的：
