高等數學-極限

極限

數列的極限

定義

設 \(\{x_n\}\) 是一個給定的數列，\(a\) 是一個實常數，如果對於任意給定的 \(\varepsilon>0\)，可以找到正整數 \(N\)，當 \(n>N\) 時，成立

\[|x_n-a|<\varepsilon \]

就稱數列 \(\{x_n\}\) 收斂於 \(a\)（或 \(a\) 是數列的極限），記為

\[\lim_{n\to\infty}x_n=a \]

如果不存在實數 \(a\) 使 \(\{x_n\}\) 收斂於 \(a\)，則稱數列 \(\{x_n\}\) 發散

性質

一、收斂數列的極限必定唯一

二、數列的有界性

若 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a\)，那么存在實數 \(m,M\) 滿足對於任意 \(n\) 都有 \(m\le x_n\le M\)

三、數列的保序性

若 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a\)，\(\lim\limits_{n\to\infty}y_n=b\) 且 \(a<b\)，那么存在正整數 \(N\)，當 \(n<N\) 時，成立 \(x_n<y_n\)

四、極限的夾逼性

三個數列 \(\{x_n\}\)，\(\{y_n\}\)，\(\{z_n\}\) 從某項開始成立

\[x_n\le y_n\le z_n,\ n\ge N_0 \]

且 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}z_n=a\)，則 \(\lim\limits_{n\to\infty}y_n=a\)

運算

設 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a\)， \(\lim\limits_{n\to\infty}y_=a\)，則有

\[\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}(\alpha x_n+\beta y_n)=\alpha a+\beta b\quad(\alpha,\beta\text{是常數})\\ &\lim_{n\to\infty}(x_ny_n)=ab\\ &\lim_{n\to\infty}(\frac{x_n}{y_n})=\frac ab(b\ne 0) \end{align*} \]

常用極限

（1）若 \(a>1\) 則 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=\lim\limits_{n\to\infty}a^{\frac 1n}=1\)

（2）\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim\limits_{n\to\infty}n^{\frac 1n}=1\)

無窮大（小）量

在收斂的數列中，我們稱極限為 \(0\) 的數列為無窮小量

對於任意的給定的 \(G>0\)，存在 \(N\)，當 \(n>N\) 時成立 \(|x_n|>G\)，則稱數列 \(\{x_n\}\) 是無窮大量，記為

\[\lim_{n\to\infty}x_n=\infty \]

若無窮大量 \(\{x_n\}\) 從某一項開始都是正的（或負的），則稱其為正無窮大量（或負無窮大量），分別記為

\[\lim_{n\to\infty}x_n=+\infty\\ \lim_{n\to\infty}x_n=-\infty \]

Stolz 定理

設數列 \(\{a_n\},\{b_n\}\) 滿足 \(\{b_n\}\) 是嚴格單調遞增的無窮大量且

\[\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=L \]

\(L\) 可以是有限量，\(+\infty\) 或 \(-\infty\)，那么就有

\[\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=L \]

收斂准則

定理：單調有界數列必定收斂

證明數列收斂只要證明數列有界並且單調即可

練習

Stolz定理

設 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\)，求極限

\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+2a_2+\dots+na_n}{n^2} \]

解：

令數列 \(x_n=\sum\limits_{i-1}^{n}ia_i,\ y_n=n^2\)

\[\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\\ =&\lim_{n\to\infty}\frac{na_n}{n^2-(n-1)^2}\\ =&\lim_{n\to\infty}\frac{na_n}{2n-1}\\ =&\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{2-\frac 1n}\\ =&\frac a2 \end{align*} \]

根據Stolz定理，有

\[\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+2a_2+\dots+na_n}{n^2}\\ =&\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}\\ =&\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\\ =&\frac a2 \end{align*} \]

夾逼法

用夾逼法計算極限：

\[\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{n=n^2}^{(n+1)^2}\frac{1}{\sqrt{k}} \]

解：

一共有 \((n+1)^2-n^2+1=2n+2\) 個數被求和，那么有

\[\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\frac{2n+2}{n+1}\le \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{n=n^2}^{(n+1)^2}\frac{1}{\sqrt{k}}\le \lim_{n\to\infty}\frac{2n+2}{n}\\ \because&\lim_{n\to\infty}\frac{2n+2}{n+1}=2,\ \lim_{n\to\infty}\frac{2n+2}{n}=2\\ \therefore&\ 2\le\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{n=n^2}^{(n+1)^2}\frac{1}{\sqrt{k}}\le 2\\ \therefore&\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{n=n^2}^{(n+1)^2}\frac{1}{\sqrt{k}}=2 \end{align*} \]

函數的極限

定義

設函數 \(y=f(x)\) 在 \((x_0-\rho,x_0)\cup(x_0,x_0+\rho),\ \rho>0\) 上有定義

如果存在實數 \(A\)，對於任意 \(\varepsilon>0\)，可以找到 \(\delta>0\)，使得當 \(0<|x-x_0|<\delta\) 時，成立 \(|f(x)-A|<\varepsilon\)

則稱 \(A\) 是函數 \(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 處的極限，記為

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=A \]

性質

一、極限唯一性

設 \(A,B\) 都是函數 \(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 的極限，則 \(A=B\)

二、局部保序性

若 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\ \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B\) 且 \(A>B\)，則存在 \(\delta>0\)，當 \(0<|x-x_0|<\delta\) 時成立 \(f(x)<g(x)\)

三、夾逼性

若存在 \(\delta>0\)，當 \(0<|x-x_0|<\delta\) 時，成立

\[g(x)\le f(x)\le h(x) \]

且 \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=A\)，則 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\)

運算

設 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\ \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B\)，則

\[\begin{align*} &\lim\limits_{x\to x_0}(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha A+\beta B\quad(\alpha,\beta是常數)\\ &\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)g(x))=AB\\ &\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac AB(B\ne 0) \end{align*} \]

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