前言
博客園還支持數學公式1 數學公式2 數學符號 輸入還是不錯的(｀・ω・´)記錄這些基本知識點是為了方便自己以后忘了可以看看。數學真是一門很靈活的學科。= v =
函數，極限，連續
求極限
直接帶入
函數值和在這邊的極限沒有關系，但是利用函數連續性：lim f(x) = f(a) x->a可以通過直接帶入x的值快速的求出極限值,前提是這個函數是連續的。
等價替代
值得注意的是，加減方面盡量不要替代，會使精度降低，將復雜的式子替換成下面的公式，使其能進行簡化操作得出答案
- \(x\) ~ \(sinx\) ~ \(tanx\) ~ \(arcsinx\) ~ \(arctanx\) ~ \(ln(1+x)\) ~ \(e^x-1\)
- \((1+x)^d-1\) ~ \(dx\)
- \(1-cosx\) ~ \(\dfrac{1}{2} x^2\)
- \(a^x-1\) ~\(xlna\)
- \((1+x)^{\dfrac{1}{x}}\) ~ \(e\) (很好用)
- \(x-arctanx\) ~ \(\dfrac{x^3}{3}\)
- \(x-sinx\) ~ \(\dfrac{x^3}{6}\)
洛必達和夾逼准則
- 分子分母分別求導再求極限，洛必達之后的式子沒極限不一定原式沒極限。
- 找出一個比原式小的式子和一個比原式大的式子證明他們兩的極限相同為a，則原式極限也為a
利用泰勒公式
三角函數
等價變換
-
\(cotx=\dfrac{1}{tanx}\) ; \(secx=\dfrac{1}{cosx}\) ; \(cscx=\dfrac{1}{sinx}\); \(cos2x=cos^2x-sin^2x\)
-
\(sin2x=2sinxcosx\); \(sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny\)
-
\(1+cos2x=2cos^2x\); \(sinx-cosx=\sqrt{2}sin(x- \dfrac{\pi}{4})\)
-
\(cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny\);
求導
- \((arcsinx)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ; \((arccosx)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ; \((arctanx)'=\dfrac{1}{1+x^2}\) ; \((arccotx)'=-\dfrac{1}{1+x^2}\)
間斷點
導數與微分
導數定義
- \(f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\);
- 或\(f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\);
- 或\(f'(x_0)=\lim\limits_{h \rightarrow 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\);
dy和△y的關系
- \(Δx\)是有限小的量，\(dx\)是無限小的量
- dy：表示微分 \(dy = f'(x)dx\)
- Δy：表示函數的增量 \(△y = f(x+dx) - f(x) = f'(x)dx + o(dx)\)
- \(△y-dy= o(dx)\)
連續，可導，可微
- 可導一定連續，連續不一定可導，可導和可微條件一樣
- 以在\(x_0\)處討論問題
- 連續條件 \(f(x_0^-)=f(x_0^+)=f(x_0)\)
- 可導和可微條件 先連續 \(f'(x_0^-)=f'(x_0^+)\)
中值定理和一元函數微分學的應用
中值定理
羅爾中值定理
- 在閉區間 [a,b] 上連續
- 在開區間 (a,b) 內可導
- f(a)=f(b)，則至少存在一個 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
拉格朗日中值定理
- 在閉區間[a,b]上連續；
- 在開區間(a,b)內可導
- 那么在開區間(a,b)內至少有一點\(ξ(a<ξ<b)\) 使等式 \(f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)\)成立。
柯西中值定理
- 柯西（Cauchy）中值定理：設函數f(x),g(x) 滿足
- 在閉區間[a,b] 上連續；
- 在開區間(a,b) 內可導；
- 對任意(a,b)那么在 內至少有一點 \(ξ(a<ξ<b)\)，使得 成立\(\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(ξ)}{g'(ξ)}\)
弧微分
- 弧微分是用一條線段的長度來近似代表一段弧的長度，利用MT的長度近似的代表MM'的長度。
- \((ds)^2=(dx)^2+(dy)^2=(dx)^2+(y'dx)^2\)
- \((ds)=\sqrt{1+(y')^2}dx\)
- 參數方程 \(x=f(t),y=f(t)\)時\(ds=\sqrt{(\dfrac{df(t)}{dt})^2+(\dfrac{dg(t)}{dt})^2}dt\)
曲率
- 曲線的曲率（curvature）就是針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉動率，通過微分來定義，表明曲線偏離直線的程度。數學上表明曲線在某一點的彎曲程度的數值。
- 曲率 \(K=\dfrac{|y''|}{(1+y'^2)^\dfrac{3}{2}}\)
- 曲率半徑 \(\rho=\dfrac{1}{K}\)
不定積分
概念
\(F(x)'=f(x)\) 即 \(\int f(x)=F(x)+C\)( C不要忘記 )
常用不定積分
- \(\int \dfrac{1}{1+cosx}dx= tan\dfrac{x}{2}+C\)
- \(\int secxdx= ln|secx+tanx|+C\)
- \(\int sec^2xdx= tanx+C\)
- \(\int cscxdx= ln|cscx+tanx|+C\)
- \(\int csc^2xdx= -cotx+C\)
- \(\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx= ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C (x=atant)\)
- \(\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx= ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C (x=asect)\)
- \(\int \sqrt{a^2-x^2} dx=\dfrac{a^2}{2}arcsin\dfrac{x}{a}+\dfrac{1}{2}x \sqrt{x^2-a^2} +C (x=asint)\)
分部積分法
\(\int u dv=uv-\int vdu\)
以下5種情況直接使用分部積分法
- \(\int x^ne^x dx =\int x^n de^x\)
- \(\int x^nlnx dx =\int lnx d\dfrac{1}{n+1}x^(n+1)\)
- \(\int x^n*\) 三角函數 \(dx\) (三角靠后) \(sinx,cosx\)為1次否則降次,\(tanx,secx,cotx,cscx\)為偶數次
- \(\int x^n*\) 反三角函數 \(dx\) (\(x^n\)靠后)
- \(I=\int e^asinx(cosx) dx\) (都能靠后)
- \(\int sec^nx(csc^nx) dx\) (其中n為奇數)
定積分
概念
\(\lim\limits_{\lambda\rightarrow0} \sum_{i=1}^nf(\xi_i) \Delta x_i = \int^a_bf(x)dx\)
是一個函數與x軸形成的面積(可正可負)
性質
- \(\int^a_b[f(x)\pm g(x)] dx=\int^a_b f(x)dx\pm \int^a_b g(x)dx\)
- \(\int^a_b kf(x)dx =k\int^a_b f(x)dx\)
- \(\int^a_b f(x)dx =\int^a_c f(x)dx+\int^c_b f(x)dx\)
- 積分中值定理 \(f(x)\epsilon[a,b]\),存在\(\xi\epsilon[a,b]\)使得\(\int^a_b f(x)dx=f(\xi)(b-a)\)
- \([\int^x_af(x)dx]'=f(x)\)
- \([\int^{\varphi (x)} _af(x)dx]'=\varphi'(x)f(\varphi(x))\)
- \(\int^a_{-a} f(x)dx =\int^a_0[f(-x)+f(x)]dx\) 根據函數奇偶性操作
- \(\int^\pi_0 xf(sinx)dx = \dfrac{\pi}{2} \int^\pi_0 f(sinx)dx\)
- 若\(f(x)\)以\(T\)為周期的連續函數，對於任何a,總有
\(\int^{a+T}_a f(x)dx =\int^T_0 f(x)dx\)
\(\int^{nT}_0 f(sinx)dx =n\int^T_0 f(x)dx\)
\[\int^\dfrac{\pi}{2}_0 sin^ndx=\int^\dfrac{\pi}{2}_0 cos^ndx \begin{cases} \dfrac{n-1}{n}\dfrac{n-3}{n-2}\dfrac{1}{2}\dfrac{\pi}{2}& \text{n為正偶數}\\ \dfrac{n-1}{n}\dfrac{n-3}{n-2}\dfrac{2}{3}& \text{n為大於1的奇數} \end{cases} \]
換元積分法
- \(\int^b _af(x)dx =\int^\beta _\alpha f[\varphi(t)] \varphi'(t)dt\)
分布積分法
- \(\int^a_b u dv=uv|^a_b -\int^a_b vdu\)
反常(廣義)積分
- 積分區間無限,有第一類間斷點 \(\lim\limits_{b\rightarrow\infty}[F(b)-F(a)]=A\) 或者發散
- 無界函數 \(\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}[F(b)-F(a+\varepsilon)]=A\) 或者發散
Γ函數
- 定義： \(\Gamma(\alpha)=\int^\infty_0 e^{-x}x^{\alpha-1}dx (s>0)\)
- \(\Gamma(\alpha+1)=\alpha \Gamma(\alpha)\)
- \(\Gamma(n+1)=n!\)
- \(\Gamma(\dfrac{1}{2})=\sqrt{\pi}\)
應用
元素法
若所求量\(U\)與\(x\)有關\(x\) \(\in[a,b]\)
- 取\([x,x+dx]\subset[a,b]\)
- \(dU=f(x)dx\)
- \(U=\int^b _af(x)dx\)
平面面積
- \(f(x)\) 和\(g(x)\)形成的面積 設(\(f(x)>=g(x)\))
其面積
\(S= \int^b _a[f(x)-g(x)]dx\) - 平面域D由曲線\(\rho=\rho(\theta),\theta=\alpha,\theta=\beta(\alpha<\beta)\)其面積\(S=\dfrac{1}{2}\int^\alpha_\beta\rho^2(\theta)d\theta\)
旋轉體體積
- 繞x軸形成體積 \(V_x=\pi\int^b _af^2(x)dx\)
- 繞y軸形成體積 \(V_y=2\pi\int^b _axf(x)dx\)
曲線弧長
- \(y=f(x),a\leq x \leq b 則S=\int^b _a\sqrt{1+y'^2}dx\)
- \(x=x(t),y=y(t)a\leq t \leq b則S=\int^b _a\sqrt{x'^2+y'^2}dt\)
- \(\rho=\rho(\theta),a\leq \rho \leq b 則S=\int^b _a\sqrt{\rho^2+\rho'^2}dx\)
旋轉體側面積
- 曲面\(y=f(x)(f(x)>=0)\) 和直線 \(x=a,x=b(0 \leq a <b)\)及x軸所圍成區域繞x軸旋轉體所得旋轉體的側面積為\(S=2\pi\int^b _axf(x)\sqrt{1+f'^2(x)}dx\)
微分方程
定義
含有導數和微分的方程
目標
我們的目標是得出\(y\)和\(x\)的關系式，比如一個函數很難求出y和x之間的關系，是一個隱函數，我們可以先求出\(\dfrac{dy}{dx}\),再通過微分方程求解就能得到y和x之間的關系，十分巧妙。
一階微分方程
一階可分離變換的微分方程
- \(\dfrac{dy}{dx}=\phi_1(x)\phi_1(y)\) (注意考慮y=0的情況)
- \(\int\dfrac{dy}{\phi_2(y)}=\int\phi_1(x)dx+C\)
- 例如\(\dfrac{dy}{dx}=x^2y\)
齊次微分方程
- \(\dfrac{dy}{dx}=\phi(\dfrac{y}{x})\)
- 令\(u=\dfrac{y}{x}\) \(y=ux\)
- \(\dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx}\)
一階齊次線性微分方程
這個做法可以把上面兩種做法簡化
- \(\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=0\) （注意考慮y=0的情況)
- \(y=Ce^{-\int P(x)dx }\)
一階非齊線性微分方程
-
\(\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\)
-
\(y=[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C ]e^{-\int P(x)dx }\)
可降階的高階微分方程
目標：讓階數降低
- \(y^{(n)}=f(x)(n\geq2)\) 一次一次還原
- \(f(x,y',y'')=0(缺y)\) 令\(y'=p,y''=\dfrac{dp}{dx}\)帶入即可
- \(f(y,y',y'')=0(缺x)\) 令\(y'=p,y''=\dfrac{dp}{dx}=p\dfrac{dp}{dy}\)帶入即可
高階線性微分方程
二階常系數齊次線性微分方程
\(y''+py'+qy=0\)
特征函數為\(\lambda^2+p\lambda+q=0\)
先求特征方程，然后判斷\(\Delta\)的判斷通解方程式
- \(y=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}\) (\(\Delta>0\))
- \(y=(C_1+xC_2)e^{\lambda_1 x}\) (\(\Delta=0\))
- \(y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)\)(\(\Delta<0\), \(\lambda_{12}=\alpha\pm\beta i\))
同樣的道理可以推廣到高階
二階常系數非齊線性微分方程
\(y''+py'+qy=f(x)\)
求解步驟
- \(y''+py'+qy=0\)通解
- \(y''+py'+qy=f(x)\)的一個特解\(y_0(x)\)
- \(f(x)=e^{kx} P_m(x)\)
按照\(P_m(x)\)的樣式設\(y_0=P_m(x)e^{kx}\)如果發現解\(\lambda==k\) 則\(y_0=x*P_m(x)e^{kx}\)
- \(f(x)=e^{αx}[P(x)cosβx+Q(x)sinβx]\)
- 看右邊，如果有指數函數提出去
- 按照右邊的樣子假設，設為\((asinkx+bcoskx)\)
- 如果\(\alpha+\beta i==\lambda\) ,則前面乘\(x\)
多元函數微分學
定義
\(D\)為區域,\(x,y,z\)為變量,如果 \(\forall (x,y) \in D\)， \(\exists \mid z與(x,y)\)對應，稱為\(z\)為\(x,y\)的函數，記\(z=f(x,y)\)
極限
\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0 y\rightarrow y_0}f(x,y)=A\)
求解方式和一元函數微分學差不多
性質
- 考慮這些性質的前提都是在區域\((x,y) \in D\)上函數是連續的
- 最值定理，最大值為M，最小值為m
- 有界定理 \(\exists k>0\) ，\(\forall (x,y) \in D\) ，\(|f(x,y)|\leq k\)
- 介值定理
偏導數
- 對x求導就叫x的偏導數，對y求導就叫y的偏導數,對x和y求導就叫偏導數
- 二階偏導數 \(f''xy=f''yx\)
- 顯函數求偏導，直接求
- 復合函數求偏導，能帶入就帶入，不能帶入分別對\(u,v\)求偏導
- 隱函數求偏導
- 變換求偏導
全微分
- 如果 \(Δz=AΔx+BΔy+o(p)\) \(p=\sqrt{x^2+y^2}\)，稱\(f(x,y)\)在\((x_0,y_0)\)處可全微分
- \(dz \mid_{(x_0,y_0)}=Adx+Bdy\)
連續性，可偏導性和可微性
例如我們在\((0,0)\)處討論此問題
連續性
- 看能不能把\(x,y\)看成一個整體,轉變成一元函數求極限
- 夾逼定理
可偏導性
- 判斷\(\lim\limits_{x\rightarrow0} \dfrac{f(x,0)-f(0,0)}{x}\)和\(\lim\limits_{y\rightarrow0} \dfrac{f(0,y)-f(0,0)}{y}\)是否存在，如果都存在就可偏導
可微性
- 全增量減去（對x的偏導數乘以x的增量）減去（對y的偏導數乘以Y的增量）之差的距離是高階無窮小
- \(Δz-f'_x(0,0)x-f'_y(0,0)y\)是p的高階無窮小，\(p=\sqrt{x^2+y^2}\)即為可微
求極值
無條件極值
- 求出定義域 \(D\)
- 由\(\dfrac{\partial z}{\partial x}=0\) 和\(\dfrac{\partial z}{\partial y}=0\) 求出\(z=f(x,y)\)的駐點\((x_0,y_0)\)
- \(A=f''xx(x_0,y_0)\)，\(B=f''xy(x_0,y_0)\)，\(C=f''yy(x_0,y_0)\)
- \(AC>B^2\) ，\((x_0,y_0)\)為\(z=f(x,y)\)的極值點，\(A>0\)為極小值點，\(A<0\)為極大值點
- \(AC<B^2\)，\((x_0,y_0)\)不是函數的極值點
條件極值
\(\varphi(x,y)=0\)為約束條件，\(z=f(x,y)\)
拉格朗日乘數法
- \(F=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)\)
\[\begin{cases} F_x'=f_x'+\lambda\varphi'_x=0 \\ F_y'=f_y'+\lambda\varphi'_y=0 \\ F_\lambda'=\varphi(x,y)=0 \end{cases} \]
- 求出\(\lambda\)和\(x,y\)的值並確定最優解
重積分
定義
\(\lim\limits_{\lambda\rightarrow0} \sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i) \Delta a_i = ∬ \limits_{D} f(x,y)da\)
是一種可正可負的體積
性質
- \(∬ \limits_{D} [af(x,y)+bg(x,y)]da=a∬ \limits_{D} f(x,y)da+b∬ \limits_{D} g(x,y)da\)
- \(D=D_1+D_2,D_1\bigcap D_2=0\)，則\(∬ \limits_{D} f(x,y)da=∬ \limits_{D_1} f(x,y)da+∬ \limits_{D_2} f(x,y)da\)
- \(∬ \limits_{D} 1da=A\)，\(A\)為區域面積
- 積分中值定理 \(∬ \limits_{D} f(x,y)da=Af(\xi,\eta)\)
求解方法
直角坐標計算
- 先\(y\)后\(x\) : \(∬ \limits_{D} f(x,y)d\sigma=\int ^b_adx\int ^{φ_2(x)}_{φ_1(x)}f(x,y)dy\)
- 先\(x\)后\(yx\) : \(∬ \limits_{D} f(x,y)d\sigma=\int ^d_cdy\int ^{φ_2(y)}_{φ_1(y)}f(x,y)dy\)
極坐標計算
- 特征被積函數 \(f(x,y)\)中含有\(x^2+y^2\)，積分區域\(D\)的邊界曲線含\(x^2+y^2\)
- \(x=rcos\theta\)，\(y=rsin\theta\)
- 先\(\theta\)后\(r\) :\(∬ \limits_{D} f(x,y)d\sigma=\int ^\beta_\alpha d\theta\int ^{r_2(\theta)}_{r_1(\theta)}rf(rcos\theta,rsin\theta)dy\)