一、微積分部分
- 一、微積分部分
Part I 極限與連續
泰勒公式
任何可導函數 \(f(x)=\sum a_{n}x^{n}\)，
\(x\rightarrow 0\)時
- \(sinx=x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})\)
- \(arcsinx=x+\frac{1}{6}x^{^{3}}+o(x^{^{3}})\)
- \(tanx=x+\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\)
- \(arctanx=x-\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\)
- \(cosx=1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}+o(x^{4})\)
- \(ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}+o(x^{4})\)
- \(e^{x}=1+x+\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+o(x^{4})\)
- \(\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+o(x^{3})(\left | x \leq 1\right |)\)
基本微分公式
-
\(({x^{n}})'=nx^{n-1}\)
-
\({(a^{x})}'=a^{x}lna\)
-
\({(e^{x})}'=e^{x}\)
-
\({(lnx)}'=\frac{1}{x}\)
-
\({(sinx)}'=cosx\)
-
\({(cosx)}'=-sinx\)
-
\({(tanx)}'=sec^{2}x\)
-
\({(cotx)}'=-csc^{2}x\)
-
\({(secx)}'=secxtanx\)
-
\({(cscx)}'=-cscxcotx\)
-
\({(arcsinx)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
-
\({(arccosx)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
-
\({(arctanx)}'=\frac{1}{1+x^{2}}\)
-
\({(arccotx)}'=-\frac{1}{1+x^{2}}\)
-
\({(ln(x+\sqrt{x^{2}+1})})'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\)
-
\(({ln(x+\sqrt{x^{2}-1})})'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\)
常用等價無窮小
- \(x \rightarrow 0\)
- \(sin x \sim x\)
- \(arcsin x \sim x\)
- \(tan x \sim x\)
- \(arctan x \sim x\)
- \(e^{x} - 1 \sim x\)
- \(ln(1 + x) \sim x\)
- \((1 + x)^{\alpha } - 1 \sim \alpha x\)
- \(1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}\)
函數極限定義
\(\lim \limits_{x \to x0}f(x)=A \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta >0, 當 0<\left | x-x0 \right |< \delta\) 時，有 \(\left | f(x)-A \right | < \epsilon\)
數列極限數列極限
n為自然數， n→\(\infty\),專指n→+\(\infty\),而略去"+"不寫
\(\lim \limits_{x \rightarrow \infty}x_{0}=A \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists N>0, 當 n>N時，有 |x_{0}-A|<\epsilon\)
極限的性質
唯一性、局部有限性、局部保號性
極限的唯一性
\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A，則A唯一\)
極限的局部有限性
$若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A，則 \exists M>0, \delta>0,當0<|x-x_{0}|<\delta時,恆有|f(x)|< M $
極限的局部保號性
\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A>0,則x\rightarrow x_{0}時，f(x)>0\)
\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A<0,則x\rightarrow x_{0}時，f(x)<0\)
函數極限計算三板斧
-
等價無窮小，泰勒公式，洛必達法則。
-
這個順序來源於楊超。
七種不定形
- \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\infty \cdot 0\), \(\infty \cdot \infty\), \(\infty^{0}\), \(0^{0}\), \(1^{\infty}\)
【注】 0不是真的0， 1不是真的1
洛必達法則
-
若\(\lim \limits_{x \to *}f(x)=0, \lim \limits_{x \to *}=0\)，且\(\lim \limits_{x \to *} \frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}\exists\),
則\(\lim \limits_{x \to *}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \to *}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}\) -
隱含條件：f(x), g(x)都為無窮小量，都可導，導函數比值的極限存在
數列極限運算法則
- 若\(x_{n}\)易於連續化，轉化為函數極限計算
依據：
\(\lim \limits_{x \to +\infty}f(x)=A, 則\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(n)=A\) - 若\(x_{n}\)不易於連續化，用“夾逼准則”（或定積分定義）
- 若\(x_{n}\)由遞推式 \(x_{0}=f(x_{n-1})\) 給出，用“單調有界准則”
\(給出 x_{n},若 x_{n} 單增且有上界或者單減且有下界 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}x_{0} \exists \Leftrightarrow {x_{0}} 收斂\)
夾逼准則
它指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，則第三個函數在該點的極限也相同。
設\(I\)為包含某點\(a\)的區間，\(f,g,h\)為定義在\(I\)上的函數。若對於所有屬於\(I\)而不等於\(a\)的\(x\)，有：
\(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\)，\(\lim \limits_{x \to a}g(x)=\lim \limits_{x\to a}h(x)=L\)；則\(\lim \limits_{x\to a}f(x)=L\)。
\(g(x)\)和\(h(x)\)分別稱為\(f(x)\)的下界和上界。\(a\)若在\(I\)的端點，上面的極限是左極限或右極限。 對於\(x \to \infty\)，這個定理還是可用的。
極限的連續與間斷的基本常識
任何初等函數在其定義區間內連續（只要見到的函數都是初等函數），故考研中只研究兩類特殊的點：
-
分段函數的分段點（可能間斷）
-
無定義點（必然間斷）
連續的定義
- \(若\lim \limits_{x \to x_{0}} f(x) = f(x_{0}), 則f(x)稱在x=x_{0}處連續\)
- Note：\(\lim \limits_{x \to x_{0}^{+}}f(x)= \lim \limits_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}) 三者相等才連續\)
有界性定理
設f(x)在[a,b]連續，則：
\(\exists K>0,使得|f(x)| \leq K, \forall x \in[a,b]\)
最值定理
設f(x)在[a,b]連續，則：
\(當m\leq \mu \leq M時，其中m,M分別為f(x)在[a,b]上的最小最大值\)
介值定理
設f(x)在[a,b]連續，則：
\(當m\leq \mu \leq M時，則\exists \xi \in (a,b),使得f(\xi)=0\)
零點定理
設f(x)在[a,b]連續，則：
\(當f(a) \cdot f(b)<0時，則\exists \xi \in (a,b),使f(\xi)=0\)
間斷的定義
- \(設f(x)在 x=x_{0}點的某去心領域有定義\)
- 1⃣️ \(\lim \limits_{x \to x_{0^{+}}}f(x)\)
- 2⃣️ \(\lim \limits_{x \to x_{0^{-}}}f(x)\)
- 3⃣️ \(f(x)\)
-
第一類間斷點 1⃣️ 2⃣️ 均存在，且
- 1⃣️\(\neq\) 2⃣️: \(x_{0}\)為跳躍間斷點
- 1⃣️ = 2⃣️ \(\neq\) 3⃣️: \(x_{0}\)為可去間斷點
-
第二類間斷點 1⃣️ 2⃣️ 至少一個不存在（目前為止考研只考了 1⃣️ 2⃣️均不存在）
- 若不存在 = \(\infty \Rightarrow\)無窮間斷點
- 若不存在 = 震盪 \(\Rightarrow\) 震盪間斷點
【Note】
- 單側定義不討論間斷性
- 若出現左右一邊是震盪間斷，一邊是無窮間斷，則我們應該分側討論
Part II 導數與微分
一元函數微分的定義
\(\lim \limits_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} 記為{f}'(x_{0})\)
一元函數定義注意點
- 左右有別
- \(\lim \limits_{\triangle x \to 0_{+}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} = {f}'(x_{0}) 右導數\)
- \(\lim \limits_{\triangle x \to 0_{-}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} = {f}'(x_{0}) 左導數\)
- \(因此{f}'(x_{0})存在\Leftrightarrow {f}'_{-}(x_{0}={f}'_{+}(x_{0})\)
- 廣義化狗
- \(\triangle x \rightarrow (廣義化)狗\)
- \(\lim \limits_{狗 \to 0} \frac{f(x_{0}+狗)-f(x_{0})}{狗}\)
- 一靜一動
- \(\lim \limits_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0}-\triangle x)}{2\triangle x}={f}'(x_{0})...就是典型錯誤\)
- 換元法
- \(換元法，令x_{0}+\triangle x =x \Rightarrow \lim \limits_{ x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}={f}'(x_{0})\)
基本求導公式
-
\({(x^a)}'=ax^{a-1}\)
-
\({(a^x)}'=a^xlna\)
-
\({(e^x)}'=e^x\)
-
\({(lnx)}'=\frac{1}{x}\)
-
\({(sinx)}'=cosx\)
-
\({(cosx)}'=-sinx\)
-
\({(tanx)}'=sec^2x\)
-
\({(cotx)}'=-cscx^2x\)
-
\({(secx)}'=-secxtanx\)
-
\({(cscx)}'=-cscxcotx\)
-
\({(arcsinx)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
-
\({(arccosx)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
-
\({(arctanx)}'=\frac{1}{1+x^2}\)
-
\({(arccotx)}'=-\frac{1}{1+x^2}\)
-
\({(ln(x+\sqrt{x^2+1}))}'=\frac{1}{x^2+1}\)
-
\({(ln(x+\sqrt{x^2-1}))}'=\frac{1}{x^2-1}\)
基本求導方法
復合函數求導、隱函數求導、對數求導法、反函數求導、參數方程求導
復合函數求導
復合函數一層層分層求導，冪指函數化為復合指數函數
隱函數求導
顯函數：y=f(x),隱函數F(x,y)=0
方法：在F(x,y)=0兩遍同時對x求導，只需注意y=y(x)即可(復合求導)
對數求導法
對多項目相乘、相除、開方乘方得來的式子，先取對數再求導，稱為對數求導。
反函數求導
\(\frac{dy}{dx}={y}' \Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{{y}'}\)
參數方程求導
\(\begin{cases} {x=x(t)} &\\ {y=y(t)} \end{cases},t為參數\)
顯函數
解析式中明顯地用一個變量的代數式表示另一個變量時，稱為顯函數。
一個函數如果能用形如 的解析式表示，其中 分別是函數的自變量與因變量，則此函數稱為顯函數，如 等都是顯函數。
隱函數
隱函數（implicit function）是由隱式方程所隱含定義的函數，比如\(y={\sqrt {1-x^{2}}}\)是由\(x^{2}+y^{2}-1=0\)確定的函數。而可以直接用含自變量的算式表示的函數稱為顯函數，也就是通常所說的函數，如\(y=\cos(x)\)。
Part III 中值定理與一元微分學應用
1. 中值定理
費馬定理
羅爾定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
柯西、拉格朗日、羅爾三者間的關系
柯西中值定理 → 拉格朗日中值定理 → 羅爾定理。But 拉格朗日中值定理 !→ 柯西中值定理
涉及f(x)的應用，可能需要用到的定理
有界性定理，最值定理，介值定理，零點定理
羅爾定理的應用范式
\(f(a)=f(b) \Rightarrow {f}'(\xi)=0\)
羅爾定理的關鍵，以及達成這個關鍵的兩個途徑
關鍵：\(F(a)=F(b) \Rightarrow {F}'(\xi)=0\)
兩個途徑：
- 求導公式逆用法
- 積分還原法
- 將欲證結論中的\(\xi 改為 x\)
- 積分，令c=0
- 移項，使等式一端為0，則另一端記為F(x)
2. 單調性與極值
導數的幾何應用有哪些
三點兩性一線：極值點、最值點、拐點；單調性，凹凸性；漸近線
極值的定義需要注意的地方
必須是雙側定義，否則不考慮極值
廣義極值
\(\exists x_{0}的某個鄰域， \forall x\in U(x_{0}, \delta) ,都有f(x) \leq f(x_{0})，則x_{0}為f(x)的真正極大值點\)
狹義極值（真正極值）
\(\exists x_{0}的某個【去心】鄰域， \forall x\in U(x_{0}, \delta) ,都有f(x) \leq f(x_{0})，則x_{0}為f(x)的真正極大值點\)
單調性與極值判別
- \(若{f}'(x)>0, \forall x \in I，則f(x)在I上單調遞增；若{f}'(x)<0, \forall x \in I，則f(x)在I上單調遞減；\)
-
\[ 若f(x)在x= x_{0}處連續，在U(x_{0}, \delta)內可導，則\begin{cases} 當x_{0} \in(x_{0}-\delta, x_{0})時, {f}'(x)<0，當x_{0}\in (x_{0}, x_{0}+\delta)時，{f}'(x)>0，\Rightarrow 極小 \\ 當x_{0} \in(x_{0}-\delta, x_{0})時, {f}'(x)>0，當x_{0}\in (x_{0}, x_{0}+\delta)時，{f}'(x)<0，\Rightarrow 極大 \\ 若{f}'(x)在(x_{0}-\delta, x_{0})與(x_{0}, x_{0}+\delta)內不變號 \Rightarrow 不是極值 \end{cases} \]
- \(若f(x)在x=x_{0}處二階可導，{f}'(x_{0})=0，{f}''(x_{0})>0 \Rightarrow 極小值；若f(x)在x=x_{0}處二階可導，{f}'(x_{0})=0，{f}''(x_{0})<0 \Rightarrow 極大值\)
3. 零碎問題
函數的凹凸性
函數拐點
連續曲線凹凸弧的分界點
拐點判別法
設f(x)在I上二階可導
- \( \begin{cases} 若{f}''(x_0)>0，\forall x\in I \Rightarrow f(x)是凹的 \\ 若{f}''(x_0)<0，\forall x\in I \Rightarrow f(x)是凸的 \end{cases} \)
- \(若f(x)在x_0點的左右鄰域{f}''(x)變號 \Rightarrow (x_0,f(x_0))為拐點\)
鉛直漸近線
\(若\lim \limits_{x \to x_0^+(或x_0^-)}f(x)=\infty，則稱x=x_0為f(x)的一條鉛直漸進線\)
出現在：無定義點 || 開區間端點
水平漸近線
\(若\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)}f(x)=A，則稱y=A為f(x)的一條水平漸進線\)
斜漸近線
\(若\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)} \frac{f(x)}{x}=a\neq0，且\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)}[f(x)-ax]=b \exists,則稱y=ax+b為f(x)的一條斜漸進線\)
函數的最值的求法
- $
對於函數f(x)，在[a,b]上找出三類點\begin{cases}
{f}'x=0 \Rightarrow x_0駐點 \
{f}'(x)!\exists \Rightarrow不可導點 \
端點a,b
\end{cases}
$
\(比較f(x_0),f(x_1),f(a),f(b)大小取其最大(最小)值為最大(最小)值\) - \(若在I上求出唯一極大(極小)值點，則由實際背景確定最大(小)值\)
Part IV 一元函數積分學
不定積分定義
\(\forall x\in I,\ 使{F}'(x)=f(x)成立，則稱F(x)在f(x)在I上的一個原函數。全體原函數就叫不定積分，記成：\int f(x)dx=F(x)+C\)
定積分定義
\(\int_{a}^{b} f(x)dx\)
不定積分與定積分的幾何意義
\(\int f(x)dx為函數族，\int_{a}^{b} f(x)dx 為面積代表值\)
牛頓-萊布尼茲公式 / N-L 公式
\(\int_{a}^{b} f(x)dx =F(x)\mid_{x=a}^{x=b}=F(b)-F(a)\)
基本積分公式
\(\int x^kdx=\frac{1}{k+1}x^{k+1}+C\)
\( k\neq1 \begin{cases} \int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C \\ \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C \end{cases} \)
\(\int \frac{1}{x}dx = lin|x|+C\)
\(\int a^xdx=\frac{1}{lna}a^x+C，a>0, a\neq1\)
\(\int e^xdx=e^x+C\)
\(\int sinxdx=-cosx+C\)
\(\int cosxdx=sinx+C\)
\(\int tanxdx=-ln|cosx|+C\)
\(\int cotxdx=ln|sinx|+C\)
\(\int secxdx=ln|secx - tanx|+C\)
\(\int cscxdx=ln|cscx - cotx|+C\)
\(\int sec^2xdx=-cotx+C\)
\(\int secxtanxdx=secx+C\)
\(\int secxcotxdx=-cscx+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=ln(x+\sqrt{a^2+x^2})+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C\)
\(\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+C\)
\(\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan{\frac{x}{a}}+C\)
\(\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}ln{\frac{a+x}{a-x}}+C\)
\(\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln{\frac{x-a}{x+a}}+C\)
\(\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}arcsin{\frac{x}{a}}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C\)
點火公式(華里士公式)
- $ I_n=\int_{\frac{\pi}{2}}{0}sinnxdx=\int_{\frac{\pi}{2}}{0}cosnxdx=\begin{cases}
\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot\cdot\cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} & n為正整數 \
\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot\cdot\cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} & n為大於1的正奇數
\end{cases}$ - 偶數時點火成功乘 \(\frac{\pi}2\)，奇數時點火失敗以 1 打止
積分-換元法的三板斧
- 當湊微分法不成功時，考慮換元，從而使題目從復雜變簡單
-
三角換元
- \(三角換元--當被積函數f(x)含有\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{a^2+x^2}, \sqrt{x^2-a^2}\)
- \(\sqrt{a^2-x^2} \Rightarrow x=asint,(-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2})\)
- \(\sqrt{a^2+x^2} \Rightarrow x=atant,(-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2})\)
- \(\sqrt{x^2-a^2} \Rightarrow x=asect,\begin{cases}x>0,0\leq t\leq \frac{\pi}{2}\\ x<0,\frac{\pi}{2}\leq t \leq \pi\end{cases}\)
- Note：\(若見到\sqrt{ax^2+bx+c}，要先化為\sqrt{\phi^2(x)-k^2}，\sqrt{k^2-\phi^2(x)}，\sqrt{\phi^2(x)+k^2}，再做三角換元\)
-
倒帶換
\((x=\frac{1}{t})---可用於分子次數明顯低於分母次數的情況\) -
復雜部分換元——令復雜部分=t
\(\begin{cases}\sqrt[n]{ax+b}ax+b=t，\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}=t，\sqrt{ae^{bx}+c}=t，(根式代換)\\ a^x,e^x=t，(指數代換) \\ lnx=t，(對數代換)\\ arcsinx,arctanx=t，(反三角函數代換)\end{cases}\)
分部積分法
\(\int udv=uv- \int vdu (前面的積分困難，后面的積分簡單)\)
反對冪指三，排前面的求導，排后面的積分
有理函數積分法
- 定義:\(形如\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx,(n<m)的積分\)
- \(將\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}拆成若干最簡有理分式之和\)
- 拆分原則
- \(Q_m(x)分解出(ax+b)^k\Rightarrow 產生k項\)：
\(\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + \cdot\cdot\cdot + \frac{A_k}{(ax+b)^k},k=1,2 \cdot \cdot \cdot\) - \(Q_m(x)分解出(px^2+qx+r)^k \Rightarrow 產生k項\)：
\(\frac{A_1x+B_1}{px^2+qx+r} + \frac{A_2x+B_2}{(px^2+qx+r)^2} + \cdot\cdot\cdot + \frac{A_kx+B_k}{(px^2+qx+r)^k},k=1,2 \cdot\cdot\cdot\)
- \(Q_m(x)分解出(ax+b)^k\Rightarrow 產生k項\)：
積分中值定理
\(若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，則\exists \xi \in (a,b)，使得\int_a^bf(x) = f(\xi)(b-a)\)
\(若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，g(x)在閉區間[a,b]上不變號且可積，則\exists \xi \in (a,b)，使得\int_a^bf(x)g(x) = f(\xi)\int_a^bg(x)\)
定積分的計算
\(\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\)
- 先按四大積分法求出F(x)
- 帶入上下限，要注意換元時的細節：
\(對於\int_a^bf(x)dx=\int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}f[\phi(t)]{\phi}'(t)dt, (令x=\phi(t))；且要求{\phi}'(t) 連續，且x=\phi(t)不超過區間[a,b]\)
用積分表達和計算平面圖形的面積
\(y=y_1(x), y=y_2(x), x=a, x=b, (a < b) 所圍成的平面圖形的面積：\)
\(S=\int_a^b|y_2(x)-y_1(x)|dx\)
用積分表達和計算旋轉體的體積
- \(y=y(x)與x=a,x=b, (a < b ) 及x軸所圍圖形繞x軸旋轉一周所得的旋轉體體積為：V=\int_a^b\pi y^2(x)dx\)
- \(y=y(x)與x=a,x=b,( a < b ) 及x軸所圍圖形繞y軸旋轉一周所得的旋轉體體積為：V_y=\int_a^b2\pi x |y(x)|dx, (柱殼法)\)
用積分表達和計算函數的平均值---y(x)在[a,b]上的平均值是
\(y(x)在[a,b]上的平均值\overline{y}=\frac{\int_a^by(x)dx}{b-a}\)
Part V 多元函數微分學
多元函數微分的極限定義
\(設f(x,y)的定義域為D,P_0(x_0,y_0)是D的聚點(=內點+邊界點), \forall \epsilon>0,\exists \delta>0,當P(x,y)\in D \cap U(P_0, \delta )時，恆有|f(x,y)-A|<\epsilon \Rightarrow \lim_{x\to x_0 , y\to y_0}f(x,y)=A\)
多元函數微分的連續性
\(\lim_{x\to x_0 , y\to y_0}f(x,y)=f(x_0,y_0),則稱f(x,y)在（x_0,y_0）處連續\)
\(【注】\lim_{x\to x_0 , y\to y_0}f(x,y) \neq f(x_0,y_0),叫不連續，不討論間斷類型\)
多元函數微分的偏導數 z=f(x, y)
- \(\frac{\partial f }{\partial x}|\_{(x\_0,y\_0)}={f}'\_x(x\_0,y\_0) \underline{\underline{\triangle}}\lim_{\triangle x \to \infty}\frac{f(x\_0+\triangle x, y\_0)-f(x\_0,y\_0)}{\triangle x}\)
- \(\frac{\partial f }{\partial y}|\_{(x\_0,y\_0)}={f}'\_y(x\_0,y\_0) \underline{\underline{\triangle}}\lim\_{\triangle y \to \infty}\frac{f(x\_0, y\_0+\triangle y)-f(x\_0,y\_0)}{\triangle y}\)
多元函數微分-鏈式求導規則
\(設z=f(u,v,w), u=u(y), v=v(x,y), w=w(x)。稱x,y叫做自變量，u,v,w叫做中間變量,z叫因變量.\)
\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x}\)
多元函數-高階偏導數
\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x}\)
多元函數-無條件極值-必要條件
\(設z=f(x,y)在點(x_0, y_0)處\begin{cases} 一階偏導數存在\\ 取極值 \end{cases} ，則{f}'_x(x_0, y_0)=0,{f}'_y(x_0, y_0)=0\)
【注】適用於三元及以上(常考2-5元)
多元函數-無條件極值-充分條件
- Note：只適用於二元
多元函數-條件極值-求法
- 提法：\(求目標函數u=f(x,y,z)在約束條件\begin{cases} M (x,y,z)=0\\ N(x,y,z)=0 \end{cases} 下的極值\)
- 拉氏乘數法：
- \(構造輔助函數F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda M(x,y,z)+\mu N(x,y,z)，(\lambda,\mu均可能取0)\)
- \(令{F}'(x)=0,{F}'(y)=0,{F}'(z)=0,{F}'(\lambda)=0,{F}'(\mu)=0\)
- \(解方程組 \Rightarrow P_i(x_i, y_i, z_i) \Rightarrow u(P_i)，比較 \Rightarrow取最大、最小者為最大值，最小值\)
Part VI 重積分
二重積分的普通對稱性
- \(設D關於y軸對稱，\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma，若f(-x,y)=f(x,y), 偶\\ 0，若f(-x,y)=-f(x,y)，奇 \end{cases}\)
- \(設D關於x軸對稱，\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma，若f(x,-y)=f(x,y), 偶\\ 0，若f(x,-y)=-f(x,y)，奇 \end{cases}\)
二重積分的輪換對稱性（直角坐標系下）
輪換對稱性：
\(若將D中的x與y對調，可推出D不變，則：\iint_{D} f(x,y)dxdy=\iint_{D} f(y,x)dxdy，此即為輪換對稱性\)
二重積分直角坐標系下的積分方法
\(\iint_{D} f(x,y)d\sigma = \iint_{D} f(x,y)dxdy\)
- \(X型區域（上下型）\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)dy\)
后積先定限，限內畫條線，先交下曲線，后交上曲線 - \(Y型區域（左右型）\int_c^ddy\int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y)dx\)
二重積分極坐標系下的積分方法
\(d\sigma=d\theta\cdot rdr \Rightarrow \iint_Df(x,y)d\sigma =\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(rcos{\theta},rsin{\theta})rdr\)
二重積分中值定理
\(f(x,y)在有界閉區域D上連續，\sigma_{0}是D的面積，則在D內至少存在一點(\xi,\mu)，使得\iint_{D} f(x,y)d\sigma = f(\xi,\mu)\sigma_{0}\)
Part VII 微分方程
微分方程的概念
- \(F(x,y,{y}',{y}'',...,{y}^{(n)})=0\)
- 階數一方程中y的最高階導數的階數
\(如：ysinx-{y}''=cosx+2就是二階微分方程，\begin{cases} n=1,一階\\ n\geq2,高階 \end{cases}\) - 通解 --- 解中所含獨立常數的個數=方程的階數
一階微分方程求解-變量可分離型
\(形如\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=f(x,y)=g(x)h(y)\Rightarrow\frac{\text{dy}}{\text{h(y)}}=g(x)dx\Rightarrow\int\frac{\text{dy}}{\text{h(y)}}=\int g(x)dx\)
一階微分方程求解-齊次型
\(形如\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=f(\frac{y}{x})\Rightarrow y=ux \Rightarrow {y}'={u}'x+u \Rightarrow {u}'x+u=f(u) \Rightarrow \frac{\text{du}}{\text{dx}}x=f(u)-u \Rightarrow \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}\Rightarrow \int\frac{du}{f(u)-u}=\int\frac{dx}{x}\)
一階微分方程求解-一階線性型
\(形如:{y}'+p(x)y=q(x), p(x),q(x)為已知函數 \Rightarrow y=e^{-\int p(x)dx}(\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C\)
二階常系數齊次D.E.求解：\(y''+py'+qy=0\) p,q為常數
- \(寫\lambda^2 + p\lambda+q=0 \Rightarrow \triangle=p^2-4q\)
- \(\begin{cases} \triangle>0 \Rightarrow \lambda_1\neq\lambda_2 \Rightarrow y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x} \\ \triangle=0 \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda \Rightarrow y(C_1+C_2x)e^{kx} \\ \triangle<0 \Rightarrow \lambda_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{4q-p^2}i}{2}=\alpha\pm\beta i\Rightarrow y=e^{\alpha x}(C_1cos{\beta x})+C_2sin{\beta x}) \end{cases}\)
二階常系數非齊D.E.求解：\(y''+py'+qy=f(x)\)
- \(f(x) = P_n(x) e^{kx}\)型
- 解法
- 解的結構：\(y_{通解}=y_{齊次通解}+y_{非齊次特解}^*\)
- 求齊次通解：按照前面的方法求出
- 求特解：
- 設\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)（其中\(Q_n(x)\)由\(P_n(x)\)得到）
- 由k與特征方程的根的情況決定是否要在\(y^*\)后面乘上x或\(x^2\)
- \(\lambda _1 \neq k, \lambda_2 \neq k\)：設\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)
- \(\lambda _1 = k, \lambda_2 \neq k\)：設\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\times x\)（多乘一個x）
- \(\lambda _1 = \lambda_2 = k\)：設\(y^* = e^{kx} Q_n(x) \times x^2\)（多乘兩個x）
- 求出\(y'^*,\ y''^*\)，帶入原方程，化簡，解出待定系數a，b
- 將a，b帶入\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)，即得特解
- 組合：最后結果為 齊次通解+特解
- 解法