極限與連續
數列的定義
按照一定法則排列的無窮多個實數稱為數列
第n項\(x_n\)稱為數列的一般項或通項
極限的定義
\(設有數列{x_n},a為常數，如果對於 \forall \epsilon > 0,\exists N \in N,使得n > N時，恆有|x_n-a|<\epsilon 成立，就稱a為該數列n \to \infty時的極限，記為\)
\(\underset{n \to \infty}{lim}=a 或 x_n \to a(n \to \infty)\)
\(此時也稱數列{x_n}收斂於a，如果數列無極限，就稱數列發散或不收斂\)
tip:
1.\(數列中n \to \infty默認是正無窮，且不能加正號\)
2.一個數列極限為1的充要條件是只有有限項不滿足\(x_n - 1<\epsilon\)
而不是有無限項滿足\(x_n - 1<\epsilon\)，反例{\((-1)^n\)}
一些例題
該類證明題的關鍵在於找到N
1.證明\(\underset{n \to \infty}{lim} \frac{3n^2}{n^2-3} =3\)
proof:要使\(|\frac{3n^2}{n^2-3} - 3|< \epsilon\)
\(則\frac{9}{n^2-3} < \epsilon, 限定n>3\)
\(得 N = [\sqrt{ 3 + \frac{9}{\epsilon}}]\)
tip：重點在於證明N的存在性，而n取值足夠大時必然有解，因此可以限定n>3
2.證明\(\underset{n \to \infty}{lim} \sqrt[n]{a} =1\)
（1）a=1,\(\sqrt[n]{a} \equiv 1\)，顯然成立
（2）a>1,\(\sqrt[n]{a}>1,則n>\frac{lg a}{lg (\epsilon + 1)}\)
（3）0< a < 1,與（2）類似
tip：某些條件下需要分類討論來去掉絕對值
3.用定義證明\(\underset{n \to \infty}{lim} \sqrt[n]{n}=1\)
proof:令\(x_n=\sqrt[n]{n}-1,則有(x_n+1)^n=n\)
\((x_n+1)^n>1+ \frac{n(n-1)}{2}x_n^2\)
\(則n>=2時，有x_n< \sqrt{\frac{2}{n}}\)
\(取N=[\frac{2}{\epsilon^2}]+1，滿足定義，得證\)
收斂數列的性質
1.唯一性
證明過程：https://www.zhihu.com/question/349890180
采取反證法，值得一提的是取\(\epsilon = \frac{b-a}{2}\)，
以及\(|x_n-a|<\epsilon \Rightarrow x_n< \frac{b+a}{2}\)
是只取了\(\frac{3a-b}{2} < x_n< \frac{b+a}{2}\)的一邊
2.有界性
對於收斂數列\({x_n}\)，必存在M>0,使得對於一切n,恆有\(|{x_n}| \leq M\)成立
證明過程實際上是利用極限的定義解決無窮多項的問題，再在有限項中取最大值得到M。
3.保號性
對於收斂數列\({x_n}\)，必存在N使得n>N時,\({x_n}\)的正負號和其極限a的正負號相同
4.數列\({x_n}\)收斂於a的充要條件是數列\({x_n}\)的所有子數列（或 奇子數列和偶子數列）都收斂於a
子數列：從數列\({x_n}\)中任選出無限多項，並按下標從小到大排成一列，則稱該數列為\({x_n}\)的子數列
函數的極限
自變量\(x \to \infty\)時函數的極限
定義：\(設f(x)在|x|充分大時有定義，A為常數，如果對於 \forall \epsilon > 0,\exists X > 0,使得|x|>X時，恆有|f(x)-A| < \epsilon成立，就稱A為f(x)在x \to \infty時的極限\)
\(記作\underset{n \to \infty}{lim}f(x)=A或f(x) \ to A(x \to \infty)\)
自變量\(x \to x_0\)時函數的極限
鄰域：\(中心在x_0,半徑為\delta(\delta > 0)的開區間（x_0 - \delta,x_0 + \delta）為x_0的\delta鄰域，記為U（x_0,\delta）\)
\(U（x_0,\delta）除去x_0后稱為x_0的去心\delta鄰域，記為\overset{。}{U}（x_0,\delta）\)
定義：\(設f(x)在x_0的某去心鄰域有定義，A為常數，如果對於 \forall \epsilon > 0,\exists \delta > 0, 使得0<|x-x_0|<\delta時，恆有|f(x)-A| < \epsilon，就稱A為f(x)當x \to x_0時的極限\)
\(記作\underset{n \to x_0}{lim}f(x)=A或f(x) \ to A(x \to x_0)\)
函數極限與函數在該點有無定義及f(x)為何值無關
函數的單側極限
1.定義參考雙側極限
2.兩個定理
（1）\(\underset{n \to \infty}{lim}f(x)=A的充要條件是\underset{n \to -\infty}{lim}f(x)=\underset{n \to +\infty}{lim}f(x)=A\)
（2）\(\underset{n \to x_0}{lim}f(x)=A的充要條件是\underset{n \to x_0^-}{lim}f(x)=\underset{n \to x_0^+}{lim}f(x)=A\)
一些例題
1.證明\(\underset{x \to x_0}{lim}sin x=sin x_0\)
\(|sin x-sin x_0|=|2sin \frac{x-x_0}{2}cos \frac{x+x_0}{2}|\)
\(\leq |2sin \frac{x-x_0}{2}| \leq |x-x_0| < \epsilon\)
\(取\delta = \epsilon,滿足條件\)
極限的性質
極限的四則運算
設lim f(x)=A,lim f(x)=B,則
1.\(lim[f(x) \pm g(x)]=A \pm B=lim f(x) \pm lim g(x)\)
2.\(lim[f(x)g(x)]=AB=lim f(x)lim g(x)\)
3.\(lim[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{A}{B}=\frac{lim f(x)}{lim g(x)},B \neq 0\)
推論：lim f(x)=A,則
1.\(lim [Cf(x)]=CA=Climf(x)\)
2.\(lim [f(x)]^k=A^k=[lim f(x)]^k\)
前提條件：1.拆開的函數有極限，而且無窮大不算極限 2.分母不為0
一些例題
1.\(對任意多項式f(x),\underset{z \to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)\)
2.\(設P(x),Q(x)為多項式函數，Q(x_0) \neq 0,\underset{x \to x_0}{lim}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(x_0)}{Q(x_0)}\)
3.\(\underset{x \to 1}{lim}\frac{x^2-1}{x^3-1}=\underset{x \to 1}{lim}\frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{2}{3}\)
極限的復合運算性質
\(設函數u=g(x)在x_0的某去心鄰域內\)不等於a\(但\underset{x \to x_0}{lim}g(x)=a,又\underset{u \to a}{lim}f(x)=A,則\underset{x \to x_0}{lim}f[g(x)]=\underset{u \to a}{lim}f(u)=A\)
2.\(設\underset{x \to x_0}{lim}f(x)=A,\underset{n \to \infty}{lim}x_n=x_0且x_n \neq x_0,n=1,2,...,則\underset{x \to x_0}{lim}f(x)=\underset{n \to \infty}{lim}f(x_n)=A\)
證明
只需證明\(lim g(x) \to a等價於u \to a\)
同時滿足g(x)在該去心鄰域中不等於a。
一些例題
1.證明\(\underset{x \to 0}{lim}sin \frac{1}{x}不存在\)
proof:取\(x_n=\frac{1}{2n\pi},x_n'=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}\)
\(\underset{n \to \infty}{lim} sin x_n=0,\underset{n \to \infty}{lim}sin x_n'=1,且兩個極限都等於原函數的極限\)
\(由函數極限的唯一性的逆否命題知，原函數極限不存在\)
2.證明\(lim f(x)存在,lim g(x)不存在,則lim[f(x)+g(x)]不存在\)
反證法：假設lim[f(x)+g(x)]存在
\(lim g(x)=lim[f(x)+g(x)-f()x]=lim [f(x)+g(x)]-lim f(x)存在，與題設矛盾，得證\)
3.\(\underset{x \to x_0}{lim}cos x=\underset{x \to x_0}{lim}sin(\frac{\pi}{2}-x)=sin(\frac{\pi}{2}-x)=cos x_0\)
函數極限的性質
1.唯一性
提供一個不一樣的證法：
\(設lim f(x)=A或B，證明A=B\)
\(|B-A|=|(f(x)-A)-(f(x)-B)|\leq|f(x)-A|+|f(x)-B|=2\epsilon，即A=B\)
2.局部有界性（在鄰域內有界）
3.函數的局部保號性
\(\underset{x \to x_0}{lim}f(x)=A,且A>0(或A<0),則在x_0的某去心鄰域內,f(x)>0(或f(x)<0)\)
4.極限的保號性
\(如果在x_0的某去心鄰域內f(x)>=0(或<=0),且\underset{x \to x_0}{lim}f(x)=A,則A>=0(或A<=0)\)
Add:注意等號，提供一個特例\(\frac{1}{x}，函數值大於0，但極限值為0\)
5.極限的保序性
\(如果在x_0的某去心鄰域內f(x)>=g(x),且\underset{x \to x_0}{lim}f(x)=A，\underset{x \to x_0}{lim}g(x)=B,則A>=B\)
證明：構造F(x)=f(x)-g(x),由極限的保號性可證
無窮大，無窮小
無窮小
\(lim f(x)=0,就稱f(x)為此變化過程中的無窮小\)
無窮小的相關定理
1.在自變量的同一變化過程中，\(lim f(x)=A的充分必要條件是f(x)=A+\alpha,其中\alpha=\alpha(x)為無窮小\)
（1）充分性：\(\alpha=f(x)-A\)
（2）必要性：\(lim f(x)=lim (A+\alpha)=lim A+lim\alpha=A\)
2.在自變量的同一變化過程中，有限個無窮小的代數和或乘積仍為無窮小
由極限的四則運算法則可證
3.有界函數與無窮小的乘積仍為無窮小
用定義證明（有界函數不一定有極限）
4.常數和無窮小的乘積仍為無窮小
eg1:\(\underset{x \to 0}{lim}xcos\frac{1}{x}=0\)
eg2:\(\underset{x \to \infty}{lim}\frac{arctan x}{x}=0\)
無窮大
\(以x \to x_0為例，如果對於\forall M>0(不論M有多大),\exists \delta>0,當|x-x_0|<\delta,恆有|f(x)|>M,則f(x)為該變化過程中的無窮大\)
1.當f(x)的極限為無窮大時，它的函數極限實際上是不存在的
2.無窮大函數必無界，反之不真(如xcos x，構造出搖擺函數即可)
3.有界函數與無窮大相乘不一定為無窮大，主要考慮有界函數為無窮小的情況
無窮大與無窮小的關系
在自變量的同一變化過程中，\(設f(x) \neq 0,則f(x)為無窮小的充要條件是\frac{1}{f(x)}為無窮大\)
一些例題
1.\(\infty - \infty\)型不定式
\(\underset{x \to 1}{lim}(\frac{1}{x-1}-\frac{x+2}{x^3-1})=\underset{x \to 1}{lim}\frac{x^2-1}{x^3-1}=\frac{2}{3}\)
把差的形式轉化為積的形式處理
2.\(\frac{\infty}{\infty}型不定式\)
\(\underset{x \to \infty}{lim}\frac{3x^2+x+2}{x^3+2x-1}=0\)
解法：上下同除x的三次方得解
conc：
1.冪函數多項式在\(\frac{\infty}{\infty}\)情況下可以采取同除法解決
2.上述情況在分子次數高時極限為\(\infty\)，分母次數高為0，同次為最高次系數商
3. \(\underset{n \to \infty}{lim}(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n}{n^2})\)
\(=\underset{n \to \infty}{lim}(\frac{n(n+1)}{2n^2})=\frac{1}{2}\)
PS：無窮項無窮小相加不一定為無窮小
無窮小的比較
（1）\(lim \frac{\alpha}{\beta}=0,就稱\alpha為\beta的高階無窮小，記作\alpha=o(\beta)，也稱\beta為\alpha的低階無窮小\)
（2）
\(lim \frac{\alpha}{\beta}=C(C \neq 0),就稱\alpha為\beta的同階無窮小，特殊地，C=1時，稱\alpha與\beta為等價無窮小，記作\alpha ~ \beta\)
等價無窮小的重要結論
在自變量的同一變化過程中，AA',BB'，且\(lim \frac{A'}{B'}\)存在，則\(lim \frac{A}{B}\)存在，且兩者相等.
證明：\(lim \frac{A}{B}=lim \frac{A}{A'} \frac{A'}{B'} \frac{B'}{B}\)
Att：加減法不能隨意代換，乘除法可以
極限的存在准則
夾逼准則
\(假設三個數列滿足以下兩個條件：\)
\(（1）從某一項起有a_n \leq b_n \leq c_n\)
\(（2）\underset{n \to \infty}{lim} a_n=\underset{n \to \infty}{lim} b_n=a\)
\(則數列{c_n}收斂，且\underset{n \to \infty}{lim} c_n=a\)
對於函數有相似的定義
第一個重要極限\(\underset{n \to 0}{lim}\frac{sin x}{x}=1\)
1.證明：cos x < \(\frac{sin x}{x}\) < 1
2.相關推論：\(x \to 0時\)
sin x ~ x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x， 1-cos x ~ \(\frac{1}{2}x^2\)
一些例題
1.\(求\underset{n \to \infty}{lim}(\frac{1}{n^3+1} + \frac{2^2}{n^3+2} + ... + \frac{n^2}{n^3+n})\)
sol：\(\frac{i^2}{n^3+n} \leq \frac{i^2}{n^3+i} \leq \frac{i^2}{n^3+1}\)
\(原式 \leq \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n^3+1)}，極限為\frac{1}{3}，左側同理，得到原式極限為\frac{1}{3}\)
單調有界收斂准則
補充：單調數列
\({x_n}滿足x_1 \leq x_2 ... \leq x_n，則稱{x_n}為單增數列\)
單增數列允許等於等號
單調有界數列一定收斂
函數滿足單調有界未必收斂，因為可能是雙側極限
推論
1.\(如果單增數列{x_n}有上界,則\underset{n \to \infty}{lim}x_n存在且\underset{n \to \infty}{lim}x_n \leq M\)
1.\(如果單減數列{x_n}有下界,則\underset{n \to \infty}{lim}x_n存在且\underset{n \to \infty}{lim}x_n \geq M\)
一些例題
1.\(0<x_1<3,x_{n+1}=\sqrt{x_n(3-x_n)},n=1,2,3...證明{x_n}有極限並求x_n的極限值\)
sol：
先證有界性：
\(顯然有0<x_n<3，則n \geq 2時，x_{n+1} \leq \frac{1}{2}(x_n+3-x_n)=\frac{3}{2}\)
再證單調性：
\(n\geq2時,\frac{x_{n+1}}{x_n}=\sqrt{\frac{3}{x_n}-1} > 1，此時x_n單調遞增\)
求極限值：
\(設極限值為a,a=\sqrt{a(3-a)},解得a=0（舍去）或a=\frac{3}{2}\)
conc：
1.一般先證有界性，再證單調性，因為有時有界性為單調性服務
2.注意部分單調的情況，說明清楚n的情況
第二個重要極限\(\underset{x \to \infty}{lim}(1+\frac{1}{x})^x = e\)
證明：
函數的連續性
函數連續的概念
1.定義
定義1：\(設函數f(x)在x_0的某鄰域內有定義，如果\underset{x \to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)，就稱f(x)在x_0處連續\)
定義2：\(設函數f(x)在x_0的某鄰域內有定義，如果\underset{x \to x_0}{lim}\Delta y=0，就稱f(x)在x_0處連續\)
2.相關定理
\(y=f(x)在x_0處連續的充要條件是y=f(x)在x_0處既左連續又右連續\)
PS：用於討論分段函數在分段點的連續性
函數的間斷點
\(如果函數f(x)在x_0處不連續，就稱x_0為函數f(x)的間斷點\)
第一類間斷點
\(f(x_0^-)和f(x_0^+)都存在\)
（1）可去間斷點：\(f(x_0^-)=f(x_0^+)，包括\underset{x \to x_0}{lim}f(x) \neq f(x_0)和f(x_0)不存在\)
（2）跳躍間斷點：\(f(x_0^-) \neq f(x_0^+)\)
第二類間斷點
\(f(x_0^-)和f(x_0^+)至少有一個不存在，常見的有無窮間斷點（y=sgn x的x=0）和振盪間斷點（y=sin \frac{1}{x}的x=0），其它的有狄利克雷函數等\)
連續函數的運算，初等函數的連續性
定理
\(設函數f(x)和g(x)在x_0處均連續，則f(x) \pm g(x)，f(x)g(x)，\frac{f(x)}{g(x)}（g(x_0) \neq 0），在x_0處連續\)
2.
\(如果f(x)在區間I_x上單調且連續，則其反函數在對應區間上也單調且連續\)
3.
\(函數u=g(x)在x_0處連續，函數y=f(u)在u_0=g(x_0)處連續，則復合函數在f[g(x)]在x_0處連續\)
結論
1.對於初等函數，若函數在某點有定義，則在該點必定連續。
2.\(如果函數f(x)是初等函數，且x_0是其定義區間內一點，則有\underset{x \to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)\)
（初等函數連續->連續有極限值等於函數值->得到結論）
有限閉區間上連續函數的性質
最值相關
1.最值唯一，最值點不唯一
性質性質
1.最值定理
如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。
2.有界定理
如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上有界
3.介值定理
如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)不等於f(b)，val為介於f(a)和f(b)的任一值，則至少存在一點c在[a,b]上使得f(c)=val.
推論：
\(如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，有f(x_1)=M為最大值，f(x_2)=m為最小值，C \in (m,M)則至少存在一點x_3 \in (x_1,x_2)，使得f(x_3)=C\)
4.如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)f(b)<0，則至少存在一點c使得f(c)=0。