求導公式與法則
求導基礎公式
\[(x^{a})^{'}= ax^{a-1} \\ (\sqrt{x})^{'}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ (\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2} \\ (a^x)'=a^x\ln{a} \\ (\log_a{x})'=\frac{1}{x\ln{a}} \\ (\sin{x})'=\cos{x} \\ (\cos{x})'=-\sin{x} \\ (\tan{x})'=\sec^2{x} \\ (\cot{x})'=-\csc^2{x} \\ (\sec{x})'=\sec{x}\tan{x} \\ (\csc{x})'=-\csc{x}\cot{x} \\ (\arcsin{x})'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (\arccos{x})'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (\arctan{x})'=\frac{1}{1+x^2} \\ (arccot{x})'=-\frac{1}{1+x^2} \]
求導運算法則
設$ u(x)、v(x)$可導，則
| 四則求導法則 | 四則求微分法則 |
|---|---|
| $$ (u\pm v)'=u'\pm v'$$ | $$d(u\pm v) = du\pm dv$$ |
| $$ (1)(uv)'=u'v+v'u\ (2)(ku)'=ku'(k為常數)\ (3)(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$$ | $$(1)d(uv)=udv+vdu\ (2)d(ku)=kdu(k為常數)\ (3)d(uvw)=vwdu+uwdv+uvdw$$ |
| $$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$ | $$d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}$$ |
復合函數求導法則-鏈式法則
設\(y=f(u)\)可導，\(u=\phi(x)\)可導，且\(\phi^{'}(x)\neq0\)，則\(y=f[\phi(x)]\)可導，且
\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx} = f^{'}(u).\phi^{'}(x)= f^{'}[\phi(x)].\phi^{'}(x) \]
反函數求導法則
\[(1)設y=f(x)可導且f^{'}(x)\neq0，又x=\phi(y)為其反函數，則x=\phi(y)可導，且\\ \phi^{'}(y)=\frac{1}{f^{'}(x)} \\ 設y=f(x)二階可導且f^{'}(x)\neq0，又x=\phi(y)為其反函數，則x=\phi(y)二階可導，且\\ \phi^{''}(y)=-\frac{f^{''}(x)}{f^{'3}(x)} \]