基本求導法則與導數公式

常數和基本初等函數的求導公式

(1) \((C)'＝０\)
(2) \((x^u)'=ux^{u-1}\)
(3) \((\sin x)'=\cos x\)
(4) \((\cos x)'=-\sin x\)
(5) \((\tan x)'=\sec^2x\) 注：\(\sec x=\frac{1}{\cos x}\)，正割函數。

(6) \((\cot x)'=-\csc^2x\) 注：\(\csc x=\frac{1}{\sin x}\) 余割函數。
(7) \((\sec x)'=\sec x\tan x\)
(8) \((\csc x)'=-\csc x\cot x\)
(9) \((a^x)'=a^x\ln a\)
(10) \((e^x)'=e^x\)
(11) \((\log_{a^x})'=\frac{1}{x\ln a}\)
(12) \((\ln x)'=\frac{1}{x}\)
(13) \((\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
(14) \((\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
(15) \((\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}\)
(16) \((\newcommand{\arccot}{\mathrm{arccot}\,}\arccot x)'=-\frac {1}{1+x^2}\)

函數的和、差、積、商的求導法則

設 \(u=u(x)\),\(v=v(x)\)都可導，則

(1) \((u+v)'=u'±v'\) ， (2) \((Cu)'=Cu'\)(C 是常數) ，
(3) \((uv)'=u'v+uv'\) ， (4) \(\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}\left( v\neq0\right)\) 。

反函數的求導法則

設 \(x=f(x)\) 在區間 \(I_y\) 內單調、可導且 \(f'(y)\neq0\) ,則它的反函數 \(y=f^{-1}(x)\) 在 \(I_x=f(I_y)\) 內也可導，且

\[[f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(y)} 或 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} \]

復合函數的求導法則

設 \(y=f(u)\),而 \(u=g(x)\) 且 \(f(u)\) 及 \(g(x)\) 都可導，則符合函數 \(y=f[g(x)]\) 的導數為

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} 或 y'(x) = f'(u)\cdot{g'(x)} \]

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源自：

《高等數學》 同濟六版 -> P95

latex 公式可以參考：

1. Mathjax 常用語法
2. LaTeX 各種命令，符號
3. MathJax與LaTex公式簡介