A man's feet should be planted in his country, but his eyes should survey the world.
一個人應該立足本土，放眼世界。
高等數學(1) —— 映射與函數
復習向的筆記。
目錄
1. 映射1.1 映射1.2 逆映射與復合映射2. 函數2.1 函數的定義2.2 函數的幾種特性2.2.1 函數的有界性2.2.2 函數的單調性2.2.3 函數的奇偶性2.2.4 函數的周期性2.3 反函數與復合函數2.4 函數的運算2.5 初等函數
1. 映射
1.1 映射
映射： 集合X有元素x，如果存在一個法則f，使得在X中的任意元素x都存在集合Y中的元素y與之一一對應。則稱f為從X到Y的映射。
像： 元素y
原像： 元素x
定義域： 集合X
值域： 集合Y
滿射就是Y中所有元素都是X中某元素的像，單射就是只存在一對一的映射，值得注意的是，映射又稱為算子、泛函、變換，在不同的數學分支自然有不同的叫法，而在實數集到實數集的映射通常叫做函數。
1.2 逆映射與復合映射
逆映射： f是從X到Y的單射，如果存在法則g為從Y到X的映射，則法則g是法則f的逆映射。
復合映射： f是從X到Y的映射，若f的值域都在映射g的定義域內，則f與g所構成的新映射為復合映射。
2. 函數
2.1 函數的定義
函數： 定義域和值域都在實數域內的映射。
自變量即映射的原像，因變量即映射的像。
自然定義域： 對於用抽象的算式表達的函數，使得該算式有意義的一切實數所組成的集合。
2.2 函數的幾種特性
2.2.1 函數的有界性
上界： 對於一個函數f(x)，存在實數K1滿足
下界： 類比上界，
有界： 存在正數M，
2.2.2 函數的單調性
單調遞增： 在一個區間內，變量值大的函數值總是大於變量值較小的函數值，即
單調遞減： 在一個區間內，恆存在：
單調函數： 單調遞增和單調遞減的函數的統稱。
2.2.3 函數的奇偶性
奇函數：
偶函數：
非奇非偶： 同時不滿足奇函數和偶函數的定義。
2.2.4 函數的周期性
周期函數： 存在正數T，使得函數
周期： 上述的正數T，通常指最小正周期。
2.3 反函數與復合函數
反函數： 定義域和值域都定義在實數集的映射f的逆映射。
復合函數： 定義域和值域都定義在實數集的映射所組成的復合映射。
2.4 函數的運算
和差商積。
2.5 初等函數
基本初等函數：
- 指數函數
- 冪函數
- 對數函數
- 三角函數
- 反三角函數
初等函數： 用基本初等函數復合構成的函數。