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今天是高等數學第11篇文章，我們來看看定積分的相關內容。
對於很多人來說定積分的內容其實早在高中就已經接觸過了，比如在高中物理當中，我們經常使用一種叫做”微元法“的方法來解決一些物理問題。但實際上所謂的”微元法“本質上來說其實就是一種微積分計算方法。我們來看兩個簡單的例子。
微分與積分的例子
第一個例子是扇形的面積計算，先別急着笑，我知道這個是初中的內容。扇形的面積誰不會算，扇形的面積等於圓的面積乘上圓心角嘛。
圓的面積我們都知道\(S=\pi r^2\)，如果是扇形的話，再加上圓心角，我們用弧度制來表示圓心角，可以直接進行計算：\(S=\pi r^2 \theta\)。
除此之外還有別的辦法嗎？
當然是有的，我們來看下面這張圖：
在下面這張圖當中，我們從扇形上切了一小塊出來，做了一個直角三角形。我們令這個直角三角形無限窄，那么它的面積就可以近似於這一塊小扇形的面積。
直角三角形的面積很簡單，我們都會算，我們令短的直角邊長度是l。那么這個小三角形的面積就等於\(\frac{1}{2}lr\)。
我們如此操作，可以把這一塊扇形分割成無數個這樣的小三角形，最后我們把這些小三角形的面積全部加起來，就可以得到扇形的面積。由於l趨向於0，每一個小三角形和小扇形的面積差的極限都是0，所以可以近似看成它們相等。
這樣一番操作之后，我們可以用無數個小三角形的面積來代替扇形的面積。對於這些小三角形而言，它們的面積都是\(\frac{1}{2}lr\)。把它們進行累加，本質上也就是把這些所有的短邊進行累加。那么顯然，這些所有的短邊累加之后的結果就是扇形的弧長。
我們假設這塊扇形的弧長是L，那么整個扇形的面積還可以表示成\(\frac{1}{2}rL\)。
我們可以簡單驗證一下，一個完整的圓也可以看成是一個扇形。一個完整的圓，它的弧長，也就是周長是\(2\pi r\)。我們代入剛才的公式，得到的結果和圓的面積公式吻合，所以我們的計算是正確的。
在這個例子當中扇形分割成的每個小三角形是一樣的，所以我們可以直接進行累加。如果我們微分之后的結果不再是固定的，是變化的，那么應該怎么辦？
我們再來看另外一個例子：
比如我們要求a和b兩點圍成的曲線矩形的面積，我們也可以將矩形進行拆分。我們可以無限拆分成多個小的矩形的面積去替代。我們可以很容易證明，當\(\Delta x\)趨向於0的時候，那一塊小的矩形面積和曲線矩形的面積相等。所以我們可以把它拆分成無數個這樣的矩形，然后將所有的面積求和，就得到了曲線圍成的面積。
對於每一塊矩形而言，它們的寬都是\(\Delta x\)，但是它們的高都不相同。但是很容易看出來，它們的高都是區間里某一個坐標的函數值。其實我們可以寫出來這些序列的值，它們分別是: a, a+\(\Delta x\), a + 2\(\Delta x\), ..., b。
為了方便書寫，我們令這個序列等於\(\{\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\}\)
所以曲線圍成的面積可以寫成：
定積分的定義
我們觀察一下上面這個問題，其實我們知道了很多信息，比如我們知道了函數f(x)，我們還知道了a和b的值，看起來已經離結果很近了。的確如此，但是在我們繼續往下之前，我們必須要明確一點，我們這樣的推算是有前提的。
最大的也是隱藏的前提就是我們做的划分，我們必須要保證兩點，首先我們要保證當\(\Delta x\)趨向於0的時候，矩形高度的極限是確定的。並且這些小矩形的面積和的極限趨近於它真實的面積。
我們用數學的語言來表達，也就是說，我們無論如何選取每一個\(\xi_i\)，我們都要保證\(\lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x\)是一個定值，這樣我們就可以把這個式子寫成定積分的形式：
這里的f(x)稱作被積函數，\(f(x)dx\)稱為被積表達式，x叫做積分變量，a和b分別稱為積分的上限和下限。
如果f(x)在[a, b]上的定積分存在，那么就稱為f(x)在區間[a, b]上可積。
什么樣的函數可積呢？
這個問題要用數學的語言證明不太容易，但是如果從直觀上去理解則要簡單很多。通過上面的圖，我們很輕松可以得到結論：連續函數一定可積，並且如果函數在[a, b]上有界並且只有有限個斷點也可積。因為有限個間斷點不會影響面積的計算，從這個角度入手，是否可積的判斷其實還是很好理解的。
我們明白了可導的定義之后，我們再把之前連續和可導這些性質串起來，我們就可以編出高數順口溜了：
可導一定連續，連續不一定可導。
連續一定可積，可積不一定連續。
可導一般可積，可積不一定可導。
理解並且記住這個順口溜可是學好高數的基礎，不信可以去問問考研黨，這幾句必然朗朗上口。如果覺得暈頭轉向也沒關系，以后有機會會單獨開一篇文章好好講講這幾個順口溜。
簡單性質
最后，我們來看下定積分的一些簡單性質。
第一個是加法性質，\(\int_a^b [f(x) \pm g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx \pm \int_a^b g(x)dx\)
這個很好證明，我們只需要將它轉化成累加的形式就可以把括號里相加的內容拆開：
另一個經常用到的性質是延續性質，假設f(x)在整個區間上可積，那么我們可以得到：
不論a，b，c之間的大小關系如何，上面的式子都成立。證明方法和剛才一樣，我們將積分用累加形式來表示，代入即可。
最后一個性質是保號性，假設f(x)和g(x)在區間[a, b]上可積。並且對於任意x屬於[a, b]都有\(f(x) \leq g(x)\)，那么我們可以得到：\(\int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx\).
這個證明也很簡單，我們令\(h(x) = g(x) - f(x) \geq 0\)，我們對h(x)進行積分，得到的結果自然大於等於0，再結合剛才的積分的加法性質，我們就可以移項得到結果了。
除了上面提到的三個性質之外，定積分還有很多其他的一些性質。但是這些性質一則比較瑣碎，另外也比較直觀，值得研究的內容不太多，所以我們不過多涉入，感興趣的同學可以自行了解。
不知道看了這么多你是不是會有一些問號呢，我們分析了這么多，那么定積分究竟應該怎么計算呢？
這個問題先不着急回答，因為如果你學過微積分的話，那么對於怎么計算積分應該還有一些印象。如果沒有的話，直接給出結論並沒有什么用，在數學上結論總是需要我們通過嚴謹的推導的，否則就是空中樓閣，即使記住了，以后也總會忘記的。所以關於定積分的計算推導過程，我們放到下一篇文章當中，敬請期待啦。
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