高等數學 - 積分法
積分法主要有兩大類，換元法和分部積分法。由於積分運算並不是一個很直觀的運算，因此將積分法的一些結論列於此，方便理解。
關於不定積分和定積分
- 不定積分屬於求導的逆運算，即若 \(F'(x)=f(x)\) ，則 \(\int f(x)\text{d}x=F(x)+C\) 。不定積分的結果是函數。
- 定積分是求值的式子，通過微元法定義。定積分的結果是一個值，幾何表示是面積。
- 不定積分可以看作是定積分運算的技巧（因為定積分可以先求出不定積分（原函數），然后求值）。
- \(\int_a^bf(x)\text{d}x=F(b)-F(a)=\int f(x)\text{d}x|_a^b\) ，或者 \((\int_a^xf(x)\text{d}x)'=f(x)\) ，或者 \(\int_a^xf(x)\text{d}x=\int f(x)\text{d}x\) 是兩者之間的聯系。
不定積分第一類換元法
- 設 \(f(u)\) 具有原函數，\(u=\varphi(x)\) 可導，則有換元公式 \(\int f[\varphi(x)]\varphi' (x)\text{d}x=\int f(u)\text{d}u,u=\varphi (x)\) 。
原理：假設 \(f(u)\) 具有原函數 \(F(u)\) ，即 \(F'(u)=f(u)\) ，\(\int f(u)\text{d}u=F(u)+C\) 。根據復合函數的微分法，有 \(dF(u)=f(u)\text{d}u=f[\varphi(x)]\varphi' (x)\text{d}x\) ，由 \(df(x)=f'(x)\text{d}x ，\)也即 \(f[\varphi (x)]\varphi' (x)\) 是 \(F(x)\) 的導數（或者反過來說是原函數），因此由不定積分定義（原函數）有結論成立。
- 第一類換元法的目的在於將被積表達式看成是某種復合函數，從而降低函數嵌套的層次。
例子：求 \(\int (2x)^2\text{d}x\) 。
解：\(\int (2x)^2\text{d}x=\frac{1}{2}\int (2x)^2\text{d}(2x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}(2x)^3=\frac{4}{3}x^3\) 。
不定積分第二類換元法
- 設 \(x=\psi (t)\) 是單調的可導函數，並且 \(\psi' (t)\ne 0\) ，又設 \(f[\psi (t)]\psi' (t)\) 具有原函數，則有換元公式 \(\int f(x) \text{d}x=\int f[\psi(t)]\psi'(t)\text{d}t,t=\psi^{-1}(x)\) 。
原理：
\(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{1}{\text{d}t/\text{d}x}\) ，即 \(\psi'(x)=\frac{1}{\psi^{'-1}(t)}\) 。
記 \(f[\psi (t)]\psi' (t)\) 的原函數為 \(\Phi(t)\) ，則 \(\Phi'(x)=\frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t}\frac{\text{d}t}{\text{d}x}=f[\psi (t)]\psi' (t)\frac{1}{\psi'(x)}=f(x)\) 。得證。
- 第二類換元法說明，直接將積分變量看成某個單調函數，可以直接替換。
- 第二類換元法的目的在於將被積表達式利用換元調整為更加簡單的形式。
例子：\(\int \sqrt{1-x^2}\text{d}x\) ，取 \(x=\sin t,(t\in [0,\frac{\pi}{2}])\) ，則為 \(\int \cos t \text{d}\sin t=\int \cos^2 t\text{d}t\) 。（具體求法可以參考高等數學-常用結論）。
不定積分分部積分法
- 設有可導函數 \(u(x),v(x)\) ，則有 \(\int u\text{d}v=uv-\int v\text{d}u\) 。
- 原理：有函數乘積的導數有 \((uv)'=u'v+uv'\) ，也即 \(uv'=uv-u'v\) 。兩邊同時積分則有結論。
- 分部積分法適合被積表達式中存在求導后具有形式不變特征的積分求解。
例子：求 \(\int xe^x\text{d}x\)
解：被積表達式中有 \((e^x)'=e^x\) ，故原式可化為 \(\int x(e^x)'\text{d}x=xe^x-\int e^x\text{d}x=xe^x-e^x\) 。
定積分的換元法
- 假設函數 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上連續，函數 \(x=\varphi(t)\) 滿足條件：
（1）\(\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b\)；
（2）\(\varphi(t)\) 在 \([\alpha,\beta]\) （或 \([\beta,\alpha]\)）上具有連續導數，且其值域為 \(R_\varphi=[a,b]\) ，則有 \(\int_a^{b}f(x)\text{d}x=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)\text{d}t\) 。
證明：假設 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的原函數，取 \(\Phi(t)=F(\varphi(t))\) ，有 \(\Phi'(t)=F'(\varphi(t))\varphi'(t)\) ，也即 \(\Phi(t)\) 是 \(f[\varphi(t)]\varphi'(t)\) 的一個原函數。\(\Phi(\beta)-\Phi(\alpha)=F(\varphi(\beta))-F(\varphi(\alpha))=F(b)-F(a)\) ，也即得證。
- 定積分換元法和不定積分第二類換元法類似，但是不定積分要求單調。這是因為定積分的計算式包含了方向，也即如果變換函數出現了和原來的變量反向的積分，那么也不會影響最終積分的結果。定積分實際上是按照按坐標的曲線積分在計算。因此當變換函數不單調時，折返的積分被抵消掉了，最終結果只與起點和終點的位置有關。（可以進一步思考，暫留），參考題集，2017,19 。
- 也即定積分換元就是將積分變量用一個函數替代，同時將積分的上下限替換即可。
定積分的分部積分法
- 假設 \(u(x),v(x)\) 可導，則有 \(\int_a^bf(x)uv'\text{d}x=[uv]_a^b-\int_a^bu'v\text{d}x\) 。
原理：通過不定積分的分部積分法，兩邊同時定積分即可。