高等數學——砍瓜切菜算積分的分部積分法

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今天是高等數學專題的第10篇文章。

今天我們來看另一個解不定積分的方法——分部積分法，這個方法非常常用，甚至比換元法還要常用。在我僅存不多的高數的記憶里，這是必考的內容之一。

雖然這個內容非常重要，但是卻並不難，推導也很簡單，所以這篇文章幾乎沒有難度，也沒什么公式推導。

原理和推導

分部積分法的原理非常簡單，其實也是脫胎於導數公式的推導。我們之前介紹不定積分的時候介紹過通過函數加減計算得到的簡單的積分公式。這一次的分部積分公式來源於兩個函數乘積的求導法則，利用積分是求導逆運算的性質得到分部積分公式。

我們來看，假設u和v是兩個關於x的函數，並且它們的導數連續。根據求導公式，我們可以得到函數uv乘積的導數公式：

\[(uv)'=u'v + uv' \]

這個公式應該很簡單，我們在高中數學就很熟悉了，接着我們做一個簡單的移項，可以得到：

\[uv' = (uv)' - u'v \]

之后我們再對等式的兩邊求不定積分：

\[\int uv'dx = uv - \int u'vdx \]

上面的式子還可以簡化，寫成：

\[\int udv = uv - \int vdu \]

這個就是我們的分部積分公式的推導過程，是不是很簡單。可能有些同學會有些疑惑這個結果，比如為什么(uv)'積分之后變成了uv。這個原因很簡單，因為求不定積分就是通過導函數求原函數，所以我們對一個函數求導之后的結果再積分，自然得到的就是函數本身。這也是我們之前說不定積分是求導的逆運算的原因。

在一些時候，我們想要求\(\int uv'dx\)不太容易，而求\(\int u'vdx\)比較容易，這個時候我們就可以用分部積分公式得到結果了。

u和v的選擇

在分部積分法當中，最重要的就是u和v的選擇，會直接關系到我們的計算量以及復雜度。我們來看下面這個例子。

比如我們想求$\int x\cos x dx \(，這個式子比較麻煩，無論是第一類換元法還是第二類換元法都不太好解。我們試試分部積分，這個式子當中只有兩個部分，算是比較明顯，我們假設\)u = x, dv = \cos x\(，那么\)v = \sin x, du=dx$，我們帶入分部積分：

\[\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx \]

\(\int \sin x dx\)很容易得到原函數，所以整體的答案就是：

\[\int x \cos x dx = x \sin x + \cos x + C \]

但是為什么一定是\(u = x, dv = \cos xdx\)呢？如果我們令\(u = \cos x, dv = x dx\)行不行呢？

當然也行，但是整體的計算會麻煩很多，我們簡單代入一下就知道，如果\(dv = xdx\)，那么\(v = \frac{x^2}{2}\)，\(du = -\sin xdx\)，我們代入之后會得到一個比較復雜的式子：

\[\int x \cos x dx = \cos x \cdot \frac{x^2}{2} + \int \frac{x^2}{2}\sin x dx \]

我們要求這個式子的積分可能比原式還要困難，這個例子說明了一點，就是我們在選擇u和v的時候不能盲目，並不是隨便選一個函數就可以簡化計算的。

一般來說有兩個原則可以盡量保證我們使用分部積分法能夠獲得比較好的結果，第一個原則是v的計算要簡單。在剛才的例子當中，如果dv很復雜，那么會使得我們算出的v也很復雜。代入進式子當中之后會使得vdu變得很難計算。第二個原則是\(\int vdu\)要比\(\int udv\)容易計算，這個也是顯然的，不然我們還用分部積分法干嘛，不如直接算了。

一點訣竅

其實從上面的例子和分部積分的公式當中我們可以發現一點端倪，分部積分的前提是要讓v的計算盡量簡單，什么樣的函數積分和求導都比較簡單呢？

很顯然，三角函數和各種出現e的函數。所以對於有三角函數以及自然底數e出現的函數，優先考慮分部積分。

我們再來看一個例子：

\[\int x e^x dx \]

這個例子當中出現了\(e^x\)，我們知道\(e^x\)是個好東西，它的積分和求導都等於它本身，它用來當做v再適合不過了。所以我們令\(u=x, dv = e^x\)，所以\(du = dx, v = e^x\)，我們代入公式即可得到答案：

\[\int x e^x dx = xe^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C \]

我們再來看一個例子：

\[\int x \ln x dx \]

我們令\(u = \ln x, dv = xdx\)，所以\(du = \frac{1}{x}dx, v = \frac{x^2}{2}\)，代入可得：

\[\begin{aligned} \int x \ln x dx &= \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^2}{2}dx \\ &=\frac{x^2}{2} - \int \frac{x}{2} dx \\ &=\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{4} + C \end{aligned} \]

除了在函數選擇上的訣竅之外，另一個trick是我們的分部積分法可以多次使用，對於一些比較復雜的式子通過一次拆分是不夠的，這個時候我們可以考慮繼續使用分部積分進行多次拆分。我們來看個例子：

\[\int x^2 e^x dx \]

還是和之前一樣，我們令\(u=x^2, dv = e^xdx\)，所以\(du = 2x dx, v = e^x\)。我們代入原式，可以得到：

\[\int x^2 e^x dx = x^2e^x - \int 2x e^x dx \]

我們觀察到右側的式子當中還有一個不太好求的積分，這個時候我們繼續使用分部積分法，令\(u = 2x, dv = e^x dx\), 那么\(du = 2 dx, v = e^x\)，我們代入可以得到：

\[\begin{aligned} \int x^2 e^x dx &= x^2e^x - \int 2x e^x dx\\ &=x^2 e^x - 2x \cdot e^x + \int 2 e^x dx \\ &= e^x (x^2 - 2x + 2) \end{aligned} \]

和換元法結合

分部積分除了可以多次拆分計算之外，另一個殺器是還可以結合換元法一起使用。這兩個方法結合在一起之后威力大增，進一步擴大了公式的應用范圍。

比如我們來看一個例子：

\[\int e^{\sqrt{x}}dx \]

這個式子當中我們雖然有e出現，但是它的指數也是一個函數，我們使用分部積分法並不太容易。這個時候就需要結合上換元法了，我們令\(t = \sqrt{x}\)，所以\(x = t^2, dx = 2tdt\)

我們代入可以得到：

\[\int e^{\sqrt{x}}dx= 2\int t e^t dt \]

這個式子我們已經很熟悉了，套用一下分部積分，我們很輕松就可以得到：

\[2\int t e^t dt = 2(t e^t - \int e^t dt) = 2e^t(t - 1) = 2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 1) + C \]

總結

到這里，我們關於分部積分法的內容就結束了，不僅分部積分法講完了，我們整個不定積分的求解方法也都講完了。其實說白了也就只有換元法和分部積分這兩種方法，這兩種方法雖然簡單，但是如果使用熟練地話威力並不小，可以解決很多看起來比較棘手的積分問題。大家可以把這兩篇文章結合在一起觀看。

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