高等數學 - 變限積分
說明：積分上限的函數連同復合函數總是不熟悉，特總結於此。
1 前驅
1.1 積分上限的函數的性質
性質1 如果函數 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上連續，則其積分上限的函數 \(\Phi(x)=\int_a^xf(t)\text{d}t\) 在 \([a,b]\) 上可導，且滿足 \(\Phi'(x)=f(x)\) 。
證明：\(\Delta\Phi=\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)\)
\(=\int_a^{x+\Delta x}f(t)\text{d}t-\int_a^{x}f(t)\text{d}t\)
\(=\int_a^xf(t)\text{d}t+\int_x^{x+\Delta x}f(t)\text{d}t-\int_x^{x+\Delta x}f(t)\text{d}t\)
\(=\int_x^{x+\Delta x}f(t)\text{d}t\)
由積分中值定理，有
\(\Delta\Phi=f(\xi)\Delta x\)
其中, \(\xi \in [x,x+\Delta x]\)
即 \(\frac{\Delta \Phi}{\Delta x}=f(\xi)\)
兩邊取極限 \(x\to 0\) ，則有
\(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta \Phi}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}f(\xi)=f(x)\)
即 \(\Phi'(x)\) 存在且為 \(f(x)\) 。
性質2 如果 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上連續，則 \(\Phi(x)=\int_a^xf(t)\text{d}t\) 是 \(f(x)\) 的一個原函數。
這個性質可以直接有性質1推導出來。
1.2 復合函數的求導
性質1：如果 \(u=g(x)\) 在點 \(x\) 可導，而 \(y=f(u)\) 在點 \(u=g(x)\) 可導，那么復合函數 \(y=f[g(x)]\) 在點 \(x\) 可導，且其導函數為
\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}y}{\text{d}u}\cdot \frac{\text{d}u}{\text{d}x}\)
證明：由可導條件，有 \(\frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u)+\alpha(\Delta u)\)，
即 \(\Delta y=f'(u)\Delta u+\alpha(\Delta u)\Delta u\)
兩邊同時除以 \(\Delta x\) ，有
\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha(\Delta u)\frac{\Delta u}{\Delta x}\)
考慮 \(\Delta x\to 0\) ，有
\(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\alpha(\Delta u)=\lim\limits_{\Delta u \to 0}\alpha(\Delta u)=0\)
故 \(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}\)
即 \(y'(x)=f'(u)u'(x)\)
或者 \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}y}{\text{d}u}\cdot \frac{\text{d}u}{\text{d}x}\)
2 積分上限為復合函數的函數求導
如果理解了復合函數的求導，此時就很簡單了。
題目原型：記目標函數為 \(y=\int_{a}^{g(x)}f(x)\text{d}x\) ，求其導數 \(y'(x)\)
解：目標函數可寫作 \(y=\int_{a}^{g(x)}f(t)\text{d}t\) ，改寫成復合函數的形式，即：
\(\begin{cases} y=\int_{a}^{u}f(t)\text{d}t \\ u=g(x) \end{cases}\)
則有：
\(y'(x)=y'(u)u'(x)=f(u)g'(x)=f(g(x))g'(x)\)
擴展：記目標函數為 \(f(x,y)=\int_a^{g(x,y)}f(x,y)\text{d}x\)，求 \(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\)
解：\(\implies \int_a^{g(x,y)}f(t,y)\text{d}t\) ，寫成復合函數的形式：
\(\begin{cases} u=g(x,y) \\ f(x,y)=\int_a^{u}f(u,y)\text{d}u \end{cases}\)
故 \(\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}=f(u,y)u'(x)=f(g(x,y),y)g'_x(x,y)\) ，然后再求 \(\frac{\partial f}{\partial y}\) 。
例一：（2020考研數學一）設函數 \(f(x,y)=\int_0^{xy}e^{xt^2}\text{d}t\) ，則 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}|_{(1,1)}=?\)
解：\(\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x(xy)^2}\cdot x=xe^{x^3y^2}\) ，則 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=e^{x^3y^2}+3x^3e^{x^3y^2}=4e\) 。
解2：\(\frac{\partial f}{\partial x}=?\)