高等數學——微積分中的不定積分

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今天是高等數學專題的第8篇文章，今天的內容是不定積分。

我之前的高數老師曾經說過，高等數學就是大半本的微積分加上一些數列和極限的知識。而微積分當中，積分相關又占據了大半江山。微積分之所以重要並不是因為它的比重大、容量多，而是因為它常用。幾乎所有理工科的課本上都有微積分的公式，原因也很簡單，當年這些科學家在研究未知事物或者是進行計算的時候，大量使用了微積分作為工具。這也是我們必須學它的原因。

原函數

我一直都覺得微積分這個名字起得很好，微積分是微分和積分的合稱。微分是通過宏觀研究微觀，而積分恰恰相反則是通過微觀獲取宏觀。因此從某種意義上來說，我們可以將積分看成是微分的反面。

微分對應的是極限，在函數當中，我們通過讓趨近於0研究函數的變化情況。當趨向於0時，我們獲得的函數變化率就是函數的導數，這也是導數公式的由來：

我們從微分的角度來看積分，也就是說我們來逆向思考這個過程。如果說我們獲得的導數是，那么求導之前的函數f(x)會是什么呢？在這個問題當中，求導之前的函數稱為原函數，我們寫成F(x)，如果F(x)是f(x)的原函數，那么它應該滿足對於任意的，都有。

比如說因為的導數是2x，所以是2x的原函數。

函數和原函數的關系我們清楚，但是為了嚴謹，我們還需要思考一個問題，原函數一定存在嗎？

這個問題看起來很繞，其實很容易想通，如果函數連續，那么原函數一定存在。高數書上說這個是原函數存在定理，但是連一句話證明也沒有，可想而知它基本上已經被當成是公理了。我們來簡單分析一下，如函數f(x)連續，也就是說原函數的導數存在並且連續。我們知道連續不一定可導，但可導一定連續。現在導函數存在並且連續了，那么說明原函數一定連續。如果函數不存在怎么連續呢？所以當前函數f(x)連續，說明它的原函數F(x)一定存在。

不定積分

我們搞明白了原函數之后，就可以開始不定積分的內容了。其實不定積分沒什么計算內容，我倒覺得更像是映射。將當前函數映射成原函數。

也就是說，我們通過當前函數f(x)去尋找一個原函數F(x)，使得：，我們把這個過程倒過來寫，即：

這個式子其實就是求導的逆運算，完全沒有技術含量，應該都能看明白。這個時候，我們來問一個問題，對於一個確定的函數f(x)而言，它的原函數是確定的嗎？

比如我們剛剛那個例子，那么它的原函數只有嗎？

答案是明顯的，不是。我們隨便就可以舉出另一個原函數來：，同樣，我們把后面的常數換成其他的值一樣是合法的原函數。所以我們可以知道，原函數是無窮的，差別只在於最后跟的常數不同。也就是說原函數因為這個常數的存在是不確定的，這也是不定積分當中”不定“兩個字的由來。

簡單性質

根據不定積分的定義，我們可以推導出一些簡單的性質。我們先來看第一個性質，也是最簡單的性質：

這個證明非常簡單，我們直接對原式求導即可：

同樣簡單的還有另一個性質：

證明方法和剛才一樣，直接求導即可。

好了，以上就是不定積分的全部性質了。你可能會問為什么性質里面沒有乘法和除法的性質？我也曾經好奇過這個問題，因為在我查過得所有資料當中都沒有相關的公式。我自己也試着推導過，但是沒有什么結果。這當然不是數學家們偷懶或者是算不出來，估計可能是太過復雜，所以不太實用吧。

基本積分表

最后，我們來看一下不定積分的基本積分表，方便我們計算的時候查詢。

\[\begin{aligned} \int kdx &= kx+C \\ \int x^{\mu}dx &= \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C \\ \int \frac{dx}{x} &= \ln|x| + C \\ \int \frac{dx}{1+x^2} &= \arctan x + C\\ \int \frac{dx}{1-x^2} &= \arcsin x + C\\ \int \cos x dx &= \sin x + C\\ \int \sin x dx &= -\cos x + C\\ \int \frac{dx}{\cos^2x}&=\int \sec^2x dx = \tan x + C \\ \int \frac{dx}{\sin^2 x} &= \int \csc^2 x dx = -\cot x + C\\ \int \sec x \tan x dx &= \sec x + C\\ \int \csc x \cot x dx &= -\csc x + C\\ \int e^xdx &= e^x + C\\ \int a^x dx &= \frac{a^x}{\ln a} + C \end{aligned} \]

不定積分本身的內容就是這么多，理解起來並不困難。不過在實際解決問題的過程當中，還存在一些解題的技巧，由於篇幅問題，我們放到下一篇文章當中和大家一起分享。

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