一階常微分方程通解
\[\frac{dy}{dx}+p(x)y=0 \\ \]
\[*齊次微分方程通解:\\ y=ce^{-\int{p(x)}dx} \]
\[\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) \]
\[*非齊次微分方程通解:\\ y=e^{-\int{p(x)dx}}(c+\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx}) \]
二階常系數齊次線性微分方程通解
\[y''+py'+qy=0(*)，其中p,q為常數 \\ 求解\Delta = r^2+pr+q=0 \\ 解出\Delta 兩個根 r_1,r_2 \]
| $$r_1,r_2形式$$ | $$y''+p y'+q y=0(*)通解$$ |
|---|---|
| 兩個不相等實根 | $$y=c_1 e^{r_1 x}+c_2 e^{r_2 x}$$ |
| 兩個相等實根 | $$y=(c_1+c_2 x)e^{r_1 x}$$ |
| 一對共軛復根\(r_1=\alpha+i\beta,r_2=\alpha-i\beta\) | \(y=e^{\alpha x}(c_1\cos{\beta}x+c_2\sin{\beta}x)\) |
二階常系數非齊次微分方程特解
\[y''+py'+qy=f(x)(*)，其中p,q為常數 \]
\[1. f(x)為e^{\lambda x}P(x)型.(P(x)是關於x的多項式且\lambda 常為0) \\ 求解\Delta = r^2+pr+q=0 \\ 解出\Delta 兩個特征根 r_1,r_2 特解：y^{*}=x^{k}*Q(x)*e^{\lambda x},Q(x)是和P(x)相同形式的多樣式\\(例P(x)=x^2+2 x,則Q(x)為ax^2+bx+c,a b c都是待定系數) \\ \]
| $$ 若\lambda 不是特征根 $$ | $$$$\(k=0,y^{*}=Q(x)*e^{\lambda x}\) |
|---|---|
| \(若\lambda 是單根\) | \(k=1,y^*=x*Q(x)*e^{\lambda x}\) |
| \(若\lambda 是二重根\) | \(k=2,y^*=x^2*Q(x)*e^{\lambda x}\) |
\[2. f(x)為e^{\lambda x}P(x)\cos{\beta}或e^{\lambda x}P(x)\sin{\beta}型.(P(x)是關於x的多項式且\lambda 常為0) \\ 求解\Delta = r^2+pr+q=0 \\ 解出\Delta 兩個特征根 r_1,r_2\\ \]
| $$若\alpha+ \beta i不是特征根$$ | $$$$$ y^* = e^{\lambda x}Q(x)(A\cos{\beta x}+B\sin{\beta x}) $ |
|---|---|
| \(若\alpha+ \beta i是特征根\) | \(y^*=e^{\lambda x}*x*Q(x)\) |
例
\[微分方程y''-4y'=e^{2x}的通解形式 \\ 解:令r^2-4r=0 \\ 解得r_1=2,r_2=-2 \\ r_1,r_2為兩個不相等實根，齊次通解為 y = c_1e^{2 x}+c_2e^{-2x} \\ f(x)=e^{2x}可知\lambda 值為2 ，是單根，則y^*=xQ(x)e^{2x} \\ f(x)系數為0，所以Q(x) = ax^{0} = a \\ 特解y^*=axe^{2x} \\ 將特解代入解得a=\frac{1}{4} \\ 通解形式為 y=c_1e^{2x}+c_2e^{-2x}+\frac{1}{4}xe^{2x} \]