本文主要介紹matlab中求解常微分方程（組）的dsolve和ode系列函數，並通過例子加深讀者的理解。
一、符號介紹
D: 微分符號；D2表示二階微分，D3表示三階微分，以此類推。
二、函數功能介紹及例程
1、dsolve 函數
dsolve函數用於求常微分方程組的精確解，也稱為常微分方程的符號解。如果沒有初始條件或邊界條件，則求出通解；如果有，則求出特解。
1)函數格式
Y = dsolve(‘eq1,eq2,…’ , ’cond1,cond2,…’ , ’Name’)
其中，‘eq1,eq2,…’:表示微分方程或微分方程組;
’cond1,cond2,…’:表示初始條件或邊界條件;
‘Name’:表示變量。沒有指定變量時，matlab默認的變量為t；
2)例程
例1.1(dsolve 求解微分方程)
求解微分方程：
dsolve('Dy=3*x^2','x')
例1.2（加上初始條件）
求解微分方程：
例2(dsolve 求解微分方程組)
求解微分方程組：
由於x,y均為t的導數，所以不需要在末尾添加’t’。
2、ode函數
在上文中我們介紹了dsolve函數。但有大量的常微分方程，雖然從理論上講，其解是存在的，但我們卻無法求出其解析解，此時，我們需要尋求方程的數值解。
ode是Matlab專門用於解微分方程的功能函數。該求解器有變步長（variable-step）和定步長（fixed-step）兩種類型。不同類型有着不同的求解器，具體說明如下圖。
其中，ode45求解器屬於變步長的一種，采用Runge-Kutta算法；其他采用相同算法的變步長求解器還有ode23。ode45表示采用四階-五階Runge-Kutta算法，它用4階方法提供候選解，5階方法控制誤差，是一種自適應步長（變步長）的常微分方程數值解法，其整體截斷誤差為(Δx)^5。解決的是Nonstiff(非剛性)常微分方程。
ode45是解決數值解問題的首選方法，若長時間沒結果，應該就是剛性的，可換用ode15s試試。
下面將以ode45為例具體介紹函數的使用方法。
1)函數格式
[T,Y] = ode45(‘odefun’,tspan,y0)
[T,Y] = ode45(‘odefun’,tspan,y0,options)
[T,Y,TE,YE,IE] = ode45(‘odefun’,tspan,y0,options)
sol = ode45(‘odefun’,[t0 tf],y0...)
其中: odefun是函數句柄,可以是函數文件名,匿名函數句柄或內聯函數名；
tspan 是求解區間 [t0 tf]，或者一系列散點[t0,t1,...,tf]；
y0 是初始值向量
T 返回列向量的時間點
Y 返回對應T的求解列向量
options 是求解參數設置,可以用odeset在計算前設定誤差,輸出參數,事件等
TE 事件發生時間
YE 事件發生時之答案
IE 事件函數消失時之指針i
2)微分方程標准化
利用ode45求解高階微分方程時，需要做變量替換。下面說明替換的基本思路。
微分方程為
初始條件
首先做變量替換
原微分方程可以轉換為下面的微分方程組的格式:
下面就可以利用轉換好的微分方程組來編寫odefun函數。
3）例程
在matlab中新建腳本文件，編寫函數如下：
