介紹：
1.在 Matlab 中，用大寫字母 D 表示導數，Dy 表示 y 關於自變量的一階導數，D2y 表示 y 關於自變量的二階導數，依此類推.函數 dsolve 用來解決常微分方程（組）的求解問題，調用格式為
X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…)
如果沒有初始條件，則求出通解，如果有初始條件，則求出特解
系統缺省的自變量為 t。
2.函數 dsolve 求解的是常微分方程的精確解法，也稱為常微分方程的符號解.但是，有大量的常微分方程雖然從理論上講，其解是存在的，但我們卻無法求出其解析解，此時，我們需要尋求方程的數值解，在求常微分方程數值解方面，MATLAB 具有豐富的函數，將其統稱為 solver，其一般格式為：
[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)
說明：(1)solver 為命令 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb、ode15i 之一.
(2)odefun 是顯示微分方程 y ' = f (t , y) 在積分區間 tspan = [t 0 , t f ] 上從 t0 到 t f 用初始條件 y0 求解.
(3)如果要獲得微分方程問題在其他指定時間點 t 0 , t1 , t 2 , , t f 上的解，則令tspan = [t 0 , t1 , t 2 , t f ] (要求是單調的).
(4)因為沒有一種算法可以有效的解決所有的 ODE 問題，為此，Matlab 提供了多種求解器 solver，對於不同的 ODE 問題，采用不同的 solver
3．在 matlab 命令窗口、程序或函數中創建局部函數時，可用內聯函數 inline，inline 函數形式相當於編寫 M 函數文件，但不需編寫 M-文件就可以描述出某種數學關系.調用 inline 函數，只能由一個 matlab 表達式組成，並且只能返回一個變量，不允許[u,v]這種向量形式.因而，任何要求邏輯運算或乘法運算以求得最終結果的場合，都不能應用 inline 函數，inline 函數的一般形式為：
FunctionName=inline(‘函數內容’, ‘所有自變量列表’)
例如：（求解 F(x)=x^2*cos(a*x)-b ,a,b 是標量；x 是向量 ）在命令窗口輸入:
Fofx=inline('x.^2.*cos(a.*x)-b','x','a','b');g = Fofx([pi/3 pi/3.5],4,1)
系統輸出為：g=-1.5483 -1.7259注意：由於使用內聯對象函數 inline 不需要另外建立 m 文件，所有使用比較方便，另外在使用 ode45 函數的時候，定義函數往往需要編輯一個 m 文件來單獨定義，這樣不便於管理文件，這里可以使用 inline 來定義函數。
例子：
一、ex(求精確解)：
1. 求解微分方程 y ' + 2xy = xe-x2
syms x y; y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x')
運行結果：
2. 求微分方程 xy ' + y - e x = 0 在初始條件 y (1) = 2e 下的特解並畫出解函數的圖形.
syms x y; y=dsolve('x*Dy+y-exp(1)=0','y(1)=2*exp(1)','x');ezplot(y)
運行結果：
3. 求解微分方程組
在初始條件x |t = 0 = 1, y |t =0 = 0 下的特解,並畫出解函數的圖像。
syms x y t; [x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t'); simplify(x); simplify(y); ezplot(x,y,[0,1.3]);axis auto
其中，simplify函數可以對符號表達式進行簡化。以下是運行結果：
二、ex(近似解):
1. 求解微分方程初值問題
的數值解，求解范圍為區間 [0,0.5] 。
fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y'); [x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1); plot(x,y,'o-')
2.求解微分方程
，y(0) = 1,y(0) = 0 的解，並畫出解的圖像。
通過變換，將二階方程化為一階方程組求解.令
，則
編寫 vdp.m 文件：
function fy=vdp(t,x) fy=[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)]; end
命令行輸入：
y0=[1;0] [t,x]=ode45('vdp',[0,40],y0); y=x(:,1);dy=x(:,2); plot(t,y,t,dy)
在使用ode45函數的時候,定義函數往往需要編輯一個 .m文件來單獨定義,這樣不便於管理文件，因此編寫 inline 函數：
fy=inline('[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)]','t','x')
運行：
結果一致！
三、ex(用 Euler 折線法求解):
Euler 折線法求解的基本思想是將微分方程初值問題
化成一個代數(差分)方程，主要步驟是用差商
替代微商
，於是
記
，從而
，於是
1. 用 Euler 折線法求解微分方程初值問題
的數值解（步長h取 0.4），求解范圍為區間[0,2]
本題的差分方程為：
clear; f=sym('y+2*x/y^2');a=0;b=2; h=0.4; n=(b-a)/h+1; x=0; y=1; szj=[x,y];%數值解 for i=1:n-1 y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y});%subs，替換函數 x=x+h; szj=[szj;x,y]; end; szj; plot(szj(:,1),szj(:,2))
說明：替換函數 subs 例如：輸入 subs(a+b,a,4) 意思就是把 a 用 4 替換掉，返回 4+b，也可以替換多個變量，例如：subs(cos(a)+sin(b),{a,b},[sym('alpha'),2])分別用字符 alpha 替換 a 和 2 替換 b，返回 cos(alpha)+sin(2)。
偏微分方程解法
Matlab 提供了兩種方法解決 PDE 問題，一是使用 pdepe 函數，它可以求解一般的 PDEs,具有較大的通用性，但只支持命令形式調用；二是使用 PDE 工具箱，可以求解特殊 PDE 問題，PDEtoll 有較大的局限性，比如只能求解二階 PDE問題，並且不能解決片微分方程組，但是它提供了 GUI 界面，從復雜的編程中解脫出來，同時還可以通過 File—>Save As 直接生成 M 代碼.
實例：
求解一個正方形區域上的特征值問題：
正方形區域為：
。
(1)使用 PDE 工具箱打開 GUI 求解方程
(2)進入 Draw 模式，繪制一個矩形，然后雙擊矩形，在彈出的對話框中設置Left=-1,Bottom=-1,Width=2,Height=2,確認並關閉對話框
(3)進入 Boundary 模式，邊界條件采用 Dirichlet 條件的默認值
(4)進入 PDE 模式，單擊工具欄 PDE 按鈕，在彈出的對話框中方程類型選擇Eigenmodes,參數設置 c=1,a=-1/2,d=1,確認后關閉對話框
(5)單擊工具欄的 D 按鈕，對正方形區域進行初始網格剖分，然后再對網格進一步細化剖分一次
(6)點開 solve 菜單，單擊 Parameters 選項，在彈出的對話框中設置特征值區域為[-20,20]
(7)單擊 Plot 菜單的 Parameters 項，在彈出的對話框中選中 Color、Height(3-D plot)和 show mesh 項，然后單擊 Done 確認
(8)單擊工具欄的“=”按鈕，開始求解
得到結果：
