當年已經學過了，可是忘光了。從知乎上找到了一個課程，可是和之前老師講的不一樣，在這里說明一下。
求解微分方程，是解一個含有微分的方程。因為含有微分，它和一般的方程可不一樣，求解的結果里會具有一個常數\(C\)。若想要去掉這個常數\(C\)，需要附加條件。這個附加條件表現為：
\[y'(x_1)=e_1,\\ y(x_2)=e_2 \]
假若\(x_1=x_2\)，稱這個附加條件下的問題為初值問題。反之，則稱為條件值問題。一般遇見的都是初值問題。
在微分形式以及它的變種中，初值條件僅僅為:
\[y(x_0)=y_0 \]
要解決初值問題，本質上不需要尋找額外的方法。只要完成了求解，再代入初值即可解決初值問題。當然，或許存在額外的解法。
大抵來說，這個教程的內容是：將微分方程分為幾類，在這之后，每一類都有自己的獨特解法。
微分方程的分類與計算
- 標准形式
\[y'=f(x,y) \]
當然，這只是一個范例。如果標准形式也存在着解法，我們就沒有必要去討論不同形式下的解法了。
- 微分形式
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)}\\ \Rightarrow M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \]
同上標准形式，這只是一個范例。
- 可分離變量的形式
\[M(x)dx+N(y)dy=0 \]
直接進行積分，即可求解。這是求解最簡單的一個形式。
\[\int M(x)dx+\int N(y)dy=\int 0=C \]
當然，它存在着求解初值問題的額外方法：
\[假設初值條件：\\ y'(x_0)=y_0,\\ 那么，可以求解以： \int_{x_0}^xM(x)+\int_{y_0}^yN(y)=0 \]
- 齊次方程
\[對於y'=f(x,y),有:f(tx,ty)=f(x,y) \]
假設一個齊次方程:
\[\frac{dy}{dx}=f(x,y) \]
由於不是一個可分離變量的方程，顯然不能夠直接求解。
由於y是x的函數\((y=y(x))\)，顯然這個形式可以變化。比如，\(y=x\cdot y(x)\)，不過這樣會在符號的使用上引發問題，所以改寫為\(y=x\cdot v(x)\)。
為什么要改寫？因為是齊次方程，\(f(tx,ty)=f(x,y)\)，如果\(y=x\cdot v(x)\)，那么有:
\[\frac{dy}{dx}=f(x,y)\\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=f(x,xv)=f(1,v)=f(v)\\ 又\because \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx} \Rightarrow v+x\frac{dv}{dx}=f(v), x\frac{dv}{dx}=f(v)-v=g(v), \frac{dv}{dx}=\frac{g(v)}{x} \]
最后會變化為可分離變量的形式。
- 恰當方程
\[對於M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,有:\exists F(x,y),使得: \begin{cases} \frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=M(x,y)\\ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=N(x,y) \end{cases} \]
\[\therefore M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\Rightarrow dF(x,y)=0 \]
首先，我們有着一個確認恰當方程的方法。如下:
\[\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}= \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} \]
如果符合上式，那么這就是一個恰當方程。
接下來，我們就可以根據下式確定\(F(x,y)\)
\[\begin{cases} \frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=M(x,y)\\ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=N(x,y) \end{cases} \]
確定后，原式可以變化為:
\[dF(x)=0, \int dF(x)=\int 0=0, \therefore F(x)=C(C為任意常數) \]
這樣就直接得到了對應的隱式解。從這個隱式解，或許可以得到顯式解。
額外的情況，即使原方程不是恰當方程，可以將其變化為恰當方程。具體方式為:
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \Rightarrow I(x,y)[M(x,y)dx+N(x,y)dy]=0 \]
在一些情況下，我們可以通過一些固定的方式來尋找這個\(I(x,y)\)，如下:
假若有：
\[(\frac{\partial M}{dy}-\frac{\partial N}{dx})=N\cdot g(x) \quad or\quad M\cdot h(y)\\ \]
那么有：
\[I(x,y)=e^{\int g(x)dx \quad or \quad -\int h(y)dy} \]
假若有：
\[\begin{cases} M(x,y)=yf(xy)\\ N(x,y)=xg(xy) \end{cases} \]
那么有：
\[I(x,y)=\frac{1}{xM-yN} \]
- 線性方程
\[y'+p(x)y=q(x) \]
所有的線性方程，都可以變化為恰當方程，且為：
\[(\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}- \frac{\partial N(x,y)}{\partial x})= N \cdot g(x) \]
- 伯努利方程
\[y'+p(x)y=q(x)y^n \]
\(令z=y^{1-n}\),即可轉化為線性方程。
