線性代數之——微分方程和 exp(At)

本節的核心是將常系數微分方程轉化為線性代數問題。

\[\frac{du}{dt}=\lambda u \quad 的解為 \quad u(t) = Ce^{\lambda t} \]

代入 \(t=0\)，可得 \(u(0) = C\)，因此有 \(u(t) = u(0)e^{\lambda t}\)。這是只有一個變量的情況，在線性代數里，我們擴展到 \(n\) 個方程的情況。

\[\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u \quad 初始條件為向量 \quad \boldsymbol u(0)_{t=0} \]

注意，這里 \(A\) 是常矩陣，不隨時間而改變。而且這些方程是線性的，如果 \(\boldsymbol u(t)\) 和 \(\boldsymbol v(t)\) 都是方程組的解，那么它們的線性組合 \(C\boldsymbol u(t)+D\boldsymbol v(t)\) 也是解，我們需要 \(n\) 個這樣的常數來匹配方程組的初始條件。

1. \(\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u\) 的解

其中一個解是 \(e^{\lambda t} \boldsymbol x\)，\(\lambda\) 是矩陣 \(A\) 的特征值，而 \(\boldsymbol x\) 是特征向量。將這個解代入原方程，利用 \(A\boldsymbol x=\lambda \boldsymbol x\) 可得

\[\frac{d\boldsymbol u}{dt} = \lambda e^{\lambda t} \boldsymbol x = A e^{\lambda t} \boldsymbol x=A \boldsymbol u \]

這個解的所有部分都有 \(e^{\lambda t}\)，當 \(\lambda>0\) 時，解會增長；當 \(\lambda<0\) 時，解會衰減。而當 \(\lambda\) 為虛數時，則它的實部決定解是增長還是衰減。

• 例 1

求解 \(\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u = \begin{bmatrix}0&1 \\ 1&0\end{bmatrix}\boldsymbol u，\boldsymbol u_0 = \begin{bmatrix}4 \\ 2\end{bmatrix}\)。

矩陣 \(A\) 的特征值為 1 和 -1，特征向量為 (1, 1) 和 (1, -1)，因此兩個純指數解為：

\[\boldsymbol u_1(t) = e^{\lambda_1 t} \boldsymbol x_1 = e^t\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix} \]

\[\boldsymbol u_2(t) = e^{\lambda_2 t} \boldsymbol x_2 = e^{-t}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix} \]

這些 \(\boldsymbol u\) 依然是矩陣的特征向量，它們滿足 \(A\boldsymbol u_1 = \boldsymbol u_1\) 和 \(A\boldsymbol u_2 = -\boldsymbol u_2\)，只不過是系數隨着 \(t\) 改變罷了。方程組的全解為這些特解的線性組合。

利用初始條件我們可以確定出系數 \(C\) 和 \(D\)。

因此，我們可以通過以下三個步驟來求解 \(\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u\)。

• 將 \(\boldsymbol u_0\) 寫成特征向量的線性組合，\(\boldsymbol u_0 = c_1 \boldsymbol x_1+\cdots+c_n \boldsymbol x_n\)；
• 將每個特征向量 \(\boldsymbol x_i\) 乘以 \(e^{\lambda_i t}\)；
• 全解就是 \(e^{\lambda t}\boldsymbol x\) 的線性組合，\(\boldsymbol u(t) = c_1 e^{\lambda_1 t}\boldsymbol x_1+\cdots+c_ne^{\lambda_n t} \boldsymbol x_n\)。

注意，如果兩個特征值相同而只有一個對應的特征向量，那么我們就需要另外一個解 \(te^{\lambda t}\boldsymbol x\)。

• 例 2

2. 二階方程組

針對二階方程 \(my''+by'+ky=0\)，我們將之轉化為矩陣形式，假設 \(m=1\)。

因此，我們需要先求解出矩陣的特征值和特征向量。

3. 2×2 矩陣的穩定性

針對方程組的解，我們想知道隨着 \(t \to \infty\)，解是否趨向於 \(\boldsymbol u = 0\)，也就是問題是否是穩定的。這取決於矩陣的特征值。

全解是由 \(e^{\lambda t}\boldsymbol x\) 構建出來的。如果特征值 \(\lambda\) 是實數，只有當 \(\lambda<0\) 時，解才會趨向 0。如果特征值 \(\lambda\) 是復數，那么有 \(\lambda=r+is\)，那么其實部必須小於零。

對 2×2 矩陣 \(\begin{bmatrix}a&b \\ c&d\end{bmatrix}\) 來說，如果其兩個特征值滿足上面的兩個條件，則一定有：

\[\lambda_1 + \lambda_2 < 0 \to 矩陣的跡 \quad T = a + d < 0 \]

\[\lambda_1 \lambda_2 > 0 \to 矩陣的行列式 \quad D = ad - bc > 0 \]

4. 矩陣的指數次方

最后，我們想將方程組的解寫成一個新的形式 \(\boldsymbol u(t) =e^{At}\boldsymbol u_0\)。

\[e^x = 1 + x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3 + \cdots \]

我們將 \(x\) 換成矩陣，可得：

\[e^{At} = I + At+\frac{1}{2}(At)^2+\frac{1}{6}(At)^3 + \cdots \]

它的導數為 \(Ae^{At}\)：

\[A + A^2t+\frac{1}{2}A^3t^2+\frac{1}{6}A^4t^3 + \cdots =Ae^{At} \]

它的特征值是 \(e^{\lambda t}\)：

\[(I + At+\frac{1}{2}(At)^2+\frac{1}{6}(At)^3 + \cdots)x = (1+\lambda t + \frac{1}{2}(\lambda t)^2+\frac{1}{6}(\lambda t)^3 + \cdots)x \]

假設 \(A\) 有 \(n\) 個線性不相關的特征向量，將 \(A=S\Lambda S^{-1}\) 代入 \(e^{At}\) 可得：

\[e^{At} = I + At+\frac{1}{2}(At)^2+\frac{1}{6}(At)^3 + \cdots \]

\[= I + S\Lambda S^{-1}t+\frac{1}{2}(S\Lambda S^{-1}t)(S\Lambda S^{-1}t)+ \cdots \]

將 \(S\) 和 \(S^{-1}\) 提取出來有

\[= S(I + \Lambda t+\frac{1}{2}(\Lambda t)^2+\cdots)S^{-1} = Se^{\Lambda t}S^{-1} \]

這和之前解的形式是一模一樣的！

• 例 3
  

\(e^{At}\) 滿足下面三個規則：

• \(e^{At}\) 總有逆矩陣 \(e^{-At}\)；

• \(e^{At}\) 的特征值總是 \(e^{\lambda t}\)；

• 如果 \(A\) 是反對稱矩陣，即 \(A^T=-A\)，那么 \(e^{-At}\) 是一個正交矩陣，轉置等於逆。

• 例 4

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