電路中一階線性微分方程
在高等數學中，一階微分方程求解過程需要先算出齊次的通解，然后再根據初始條件算出特解，計算與推理過程很是復雜。在我們學習電路的時候再遇到這個東西時，會因為之前復雜的求解方式嚴重打擊自信心，加之老師說數學在電路中應用是非常廣泛的，對於RC電路中存在這個一階線性微分方程，已經成為攔路虎。
本文將從另一個角度講解一階微分方程在電路中的應用，讓你感覺到數學在此次的RC電路中，充其量就是個計算方法的引薦或者是一個工具，電路中有一套自己的方法對待這個，而且解法固定，沒有套路（態度真誠），只需知道一階微分方程的基本概念是什么，比如一階指的是啥，線性指的是啥，導數是啥。
解法介紹
分為兩個步驟：求齊次的通解，然后請求非齊次的特解。
如上電路圖，根據KCL，我們可以得出 \(i = C \frac{dv_c}{dt} + \frac{v_c}{R}\) 。
對上式子進行化簡一下得出： \(\frac{i}{C} = \frac{dv_c}{dt} + \frac{v_c}{RC}\)
通過上式可以知道，\(\frac{1}{RC}\) 是一個常數，該式是關於\(v_c\)的一階線性微分方程。所以需要求解出該方程的解，在RC電路中，一階微分方程求解出來的解是一個函數，而不是一個值。
順便提一下在Java開發中，語法中lambda表達式，這個表達就是把一個函數當成一個變量傳遞過去。在微分方程中，也可以順着思路想一下，微分方程是導數的方程，那么原來的函數就是之前的解了，而不是常數值解。
先求齊次的通解
\(C \frac{dv_c}{dt} + \frac{v_c}{R} = i\) 式的齊次方程為：\(\frac{dv_c}{dt} + \frac{v_c}{RC} = 0\) 。
這里電路沒有套路做法體現出來了，齊次方程的通解為：\(v_c = Ae^{ \lambda t}\) 你沒看錯，通解就是這種固定的寫法，壓根都不用復雜推導。 然后求出該式中的\(\lambda\) 值，對該式子求導，帶入到齊次方程中去；
得出 \(\lambda Ae^{ \lambda t} + \frac{1}{RC} Ae^{ \lambda t} = 0\) 。
化簡可以得到 \(\lambda + \frac{1}{RC} = 0\) 也就是 \(\lambda = - \frac{1}{RC}\) 。
齊次方程的通解為 \(v_c = Ae^{ - t \cdot \frac{1}{RC}}\) 。
注：我們來看一下這個齊次方程，沒有了\(i\)，也就是沒有圖中的電流源，也就是沒有了外界輸入，變成下面這樣的圖。
然后求非齊次特解（特解就是特定的解，一個指定的解）
本次例子中的式子是這種的 \(C \frac{dv_c}{dt} + \frac{v_c}{R} = i\) ，\(i\)是一個常數；那么跟齊次方程的通解一樣，可以立馬得到 \(v_c = A\)，這里的A是一個常數變量。然后帶入到非齊次方程中，得到\(A = iR\) ，也就是特解是 \(v_c = iR\)。
最終的解為 齊次方程的通解 加上 非齊次方程的特解，所以 \(v_c = -iRe^{ - t \cdot \frac{1}{RC}} + iR\) 。
非齊次方程特解的一般推導
如果非齊次方程為 ： \(\frac{dx(t)}{dt} + \frac{x(t)}{RC} = t\)，那么特解是 \(x(t) = Bt + D\)，把 \(x(t) = Bt + D\) 式子 帶到 非齊次方程 里面去求出 B 和 D。
帶入求解的方式如下：
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根據\(x(t) = Bt + D\) 對其求導可得 \(\frac{dx(t)}{dt} = B\) ，帶入非齊次方程中可得 \(B + \frac{Bt + D}{RC} = t\) ，得到式子 \(RC \cdot B + Bt + D =RC \cdot t\) 整理可得 \(B = RC\)，可得 \(D = - (RC)^2\)；
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最終的非齊次方程的通解為 ： \(Ae^{ - t \cdot \frac{1}{RC}} + RC \cdot t - (RC)^2\) 。
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我們從最終的通解仍然沒有得到A的未知數，解得A需要根據電路0時刻的條件，比如x(0)等於多少。
如果非齊次方程為 ： \(\frac{dx(t)}{dt} + \frac{x(t)}{RC} = t^2\) 那么特解是 \(x(t) = Et^2 + Bt + D\)，解法跟上面一樣，把 \(x(t) = Et^2 + Bt + D\)式子 帶到 非齊次方程 里面去求出E 、B 和 D。
然后再加上齊次方程的通解。
圖形表示
最終求解公式 \(v_c = -iRe^{ - t \cdot \frac{1}{RC}} + iR\) 做成圖形；iR賦值成4、RC分為4 8 12、x是時間t。如下圖我們可以看到RC越大，圖形變道4的時間越長，所以RC的值是影響RC電路趨於穩定\(iR\)值的唯一指標。
這個特性就是在RC時間范圍內，電路在趨於穩態（穩定的狀態，已經充完電了，電容相當於一個斷路了）。
上圖中的公式顯示在下面，可以直接拷貝進去就可以顯示了
4(1−𝑒^(−𝑥/4) )
4(1−𝑒^(−𝑥/8) )
4(1−𝑒^(−𝑥/12) )