更新：9 APR 2016
========方法========
對於任意的二元二階齊次線性偏微分方程，
\(a_{11}\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+2a_{12}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+a_{22}\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+b_1\dfrac{\partial u}{\partial x}+b_2\dfrac{\partial u}{\partial y}+cu=0\)
求特征方程、確定分類、化為標准型的方法為：
1.截：只關心其中的二階部分
\(a_{11}\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+2a_{12}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+a_{22}\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\)
2.換：將偏導數換成dx、dy
\(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} \rightarrow (dy)^2\)
\(\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} \rightarrow (dx)^2\)
\(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} \rightarrow \color{red}{\textbf{–}}(dxdy)\) 注意負號！
\(a_{11}(dy)^2\color{red}{\textbf{–}}a_{12}(dxdy)+a_{22}(dx)^2=0\)
此即特征方程。
3.分：特征方程中的系數\(a_{ij}\)可能是關於x、y的函數，即便如此仍視其為普通系數。這是一個二次方程，可以寫出其\(\Delta\)
\(\Delta=a_{12}^2-a_{11}a_{22}\)
在方程的定義域內討論其符號，
\(\Delta>0\) 橢圓形(elliptic)方程，如Laplace方程；
\(\Delta=0\) 拋物型(parabolic)方程，如一維熱方程；
\(\Delta<0\) 雙曲型(hyperbolic)方程，如一維波動方程。
此即方程的分類。此外有混合型。
4.反：解出dy與dx的關系式，注意用分解因式法可能比較簡單。得到兩個常微分方程（或一個）。
得到兩個方程時，解出兩個y與x的關系，注意這兩個等式中分別有一個積分常數。將積分常數作為新的坐標（記作\(\xi, \eta\)），反寫兩等式，即用x、y表示這兩個坐標。這時就進行了變量代換。
對於拋物型方程，得到一個常微分方程，解之，得到一個坐標；另一個坐標可以任意假設，如設作y。注意做偏微分時不能直接替換，需要用鏈式法則計算。
5.導：計算u關於x、y的一階、二階偏導數與混合偏導數，用\(\xi, \eta\)表示。
6.代：將上面的偏導數代入原方程，得到簡化的以\(\xi, \eta\)為自變量的方程。此即方程的標准型。
7.解：按照標准解法解之，得到關於\(\xi, \eta\)的通解。代換回x,y利用邊界條件解之。
========原理========
之所以寫特征方程，是因為在這里希望將原方程
\(a_{11}\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+2a_{12}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+a_{22}\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+b_1\dfrac{\partial u}{\partial x}+b_2\dfrac{\partial u}{\partial y}+cu=0\)
化為
\(A_{11}\dfrac{\partial^2u}{\partial \xi^2}+2A_{12}\dfrac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial \eta}+A_{22}\dfrac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}+B_1\dfrac{\partial u}{\partial \xi}+B_2\dfrac{\partial u}{\partial \eta}+Cu=0\)
其中變量代換
\(\xi=\varphi(x,y)\)
\(\eta=\psi(x,y)\)