偏微分方程數值解---學習總結(2)

關於 \(Sobolve\) 空間的幾個重要定理

跡定理 : \(\Omega\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 的一個有界開子集，具有 李普希茨連續邊界 \(\partial\,\Omega\), \(s>\frac{1}{2}\), 則

\[\begin{align} &a.\text{存在唯一的連續線性映射}\gamma_0:\mit{H}^{s}(\Omega)\rightarrow \mit{H}^{s-\frac{1}{2}}(\partial\,\Omega),\text{滿足}\gamma_0v=v\big|_{\partial \Omega},\forall\,v\in\mit{H}^{s}(\Omega)\cap C^{0}(\overline{\Omega}), \\ &b.\text{存在唯一的連續映射}R_0：\mit{H^{s-\frac{1}{2}}}(\partial\, \Omega)\rightarrow\mit{H}^{s}(\Omega), \text{滿足} \gamma_0\circ R_0 \circ\varphi=\varphi, \forall\, \varphi \in \mit{H^{s-\frac{1}{2}}}(\partial\, \Omega). \end{align} \]

跡定理 把區域內部與邊界聯系起來. 上面定理中邊界 \(\partial \Omega\) 當被它的一個子集\(\Sigma\) 代替時，結論依然成立.

S=1 時，

\[\gamma_0:\mit{H}^1(\Omega)\rightarrow\mit{H}^{\frac{1}{2}}(\partial \Omega)\subset \mit{L}^{2}(\partial \Omega)\\ %\int_{\partial\,\Omega}(\gamma_0v)^2dx\leq C\int_{\Omega}(|v|^2+|\nabla %v|^2)dx\\ ||\gamma_0v||_{0,\partial \Omega}\leq ||\gamma_0v||_{2,\partial \Omega }\leq C||v||_1=C(||v||_0 +||\nabla v||_0).\\ %||\gamma_0v||^2_{\frac{1}{2},\partial\Omega}\leq C||v||^2_1. \]

注意幾個范數

\[\begin{align} ||\cdot||_k&=||\cdot||_{k,2}\\ ||\cdot||_0&=||\cdot||_{\mit{L^2}}\\ ||\cdot||_1&=||\cdot||_{1,2}=(||\cdot||^2_0+||\nabla\cdot||^2_0)^{\frac{1}{2}}\\ ||\nabla\cdot||_0&=|\cdot|_1. \end{align} \]

龐加萊不等式(Poincare inequality): 假設 \(\Omega\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 的一個有界聯通開子集，\(\Sigma\) 是邊界 \(\partial\,\Omega\)的一個非空的李普希 茨連續子集. 則存在一個常數 \(C_{\Omega}>0\) 滿足

\[\int_{\Omega}v^2(x)dx\leq C_{\Omega}\int_{\Omega}|\nabla v(x)|^2dx,\forall\,v \in \mit{H}^{1}_{\Sigma}(\Omega),\\ \text{其中}\,\,\mit{H}^{1}_{\Sigma}(\Omega)=\{v \in\mit{H}^{1}(\Omega),\gamma_{\Sigma}v=v\big|_{\Sigma}=0 \}. \]

\(Poincare \,\,inequality\) 是特別重要的一個不等式，它在邊值問題和變分問題的求解過程起着特別重要的作用. 上述不等式通常會被簡記為\(||v||_0\leq C\,||\nabla v||_0\)

一維形式

\[\text{對於}\,\Omega=I=(a,b),\mit{H}^{1}_{a}(I)={v\in\mit{H^1}(I),v(a)=0},\\ \text{則}\int_{a}^{b}v^2dx\leq C_I\int_a^b(v')^2dx,\,\forall\,v\in\mit{H^1}(I). \]

二維形式

\[\Omega=(a,b)^2,\,\mit{H}^1_{\Sigma}=\{v\in\mit{H}^1(\Omega),v(a,y)=0,\forall \,y\in(a,b)\,\}, \text{則}\,||v||_0\leq C\,||\nabla v||_0. \]

Poincare 不等式的形式一定要記住

**格林公式 ** \(\forall \,w,v\in\mit{H}^{1}(\Omega),\) 有

\[\int_{\Omega}(D_jw)vdx=-\int_{\Omega}w(D_jv)dx+\int_{\partial\Omega}(\gamma_0w)(\gamma_0v)d\sigma,\,j=1,2,\cdots,d. \]

格林公式可以把區域內部的導數轉移到邊界上.

**嵌入定理 ** 假設 \(\Omega\) 是\(\mathbb{R}^d\)的一個有界子集（或非有界開子集，具有李普希茨連續邊界，且 \(1\leq p\leq\infty.\) 則有下面的連續潛入映射：

\[\begin{align} a.&\text{如果}0\leq sp <d, \text{則} W^{s,p}(\Omega)\subset\mit{L^{p^*}(\Omega)},p^*=\frac{dp}{d-sp};\\ b.&\text{如果}sp=d,\text{則} W^{s,p}(\Omega)\subset\mit{L^{q}}(\Omega),p\leq q<\infty;\\ c.&\text{如果} sp>d,\text{則} W^{s,p}(\Omega)\subset C^0(\overline{\Omega}). \end{align} \]

嵌入定理的第 3 條最常用，一定要記住.

針對第 3 條，給出一些特殊情況：

\[\begin{align} &d=1,s=2,p=2, \text{則}\, \mit{H}^1(\Omega)\subset C^0( \,\overline{\Omega});\\ &d=2,s=1,p=2, \text{則}\, \mit{H}^1(\Omega)\not\subset C^0( \,\overline{\Omega});\\ &d=2,s=2,p=2,\text{則}\, \mit{H}^2(\Omega)\subset C^0( \,\overline{\Omega});\\ &d=2,s>1,p=2,\text{則}\, \mit{H}^s(\Omega)\subset C^0( \,\overline{\Omega}). \end{align} \]

Gaglinsdo-Nirenberg inequality: 令 \((a,b)\) 是一個有限區間, 則下面的不等式成立：

\[\max_{a\leq c\leq b}|v(x)|\leq (\frac{1}{b-a}+2)^{\frac{1}{2}}||v||^{\frac{1}{2}}_0||v||^{\frac{1}{2}}_1,\,\forall \, v\in \mit{H}^1(a,b). \]

補充幾種空間的關系

\[\begin{align} &\mit{H}^2_0(\Omega)\subset \mit{H}^2_0(\Omega)\cap \mit{H}^1_0(\Omega);\\ %&\mit{L^p}(\Omega)\subseteq\mathcal{D}'(\Omega)\\ &W^{k,p}_0\subset W^{k,p}(\Omega)\subset\mathcal{L}^p(\Omega)\subset\mathcal{D}'(\Omega)\\ &W^{k,p}\leftrightarrow C^k(\Omega). \end{align} \]

這幾個不等式是學習偏微分方程的重要基礎，必須熟記！