一、基本概念
偏微分方程：我們將只含有未知多元函數及其偏導數的方程稱為偏微分方程。方程中出現的位置函數偏導數的最高階數稱為偏微分方程的階。如果方程中對於未知函數和它的所有偏導數都是線性的，這樣的方程稱為線性偏微分方程，否則稱其為非線性偏微分方程。特別的，在非線性偏微分方程中，關於未知數的所有最高階偏導數都是線性的偏微分方程稱為擬線性偏微分方程。在擬線性偏微分方程中，由最高階偏導數組成的部分叫做主部。如果主部的系數都是常數或是自變量的已知函數的偏微分方程稱為半線性偏微分方程。而既不是線性也不是擬線性的偏微分方程稱為非線性偏微分方程。
1、泛定方程、定解條件和定解問題。
初始條件和邊界條件稱為定解條件，沒有給出定解條件的偏微分方程稱為泛定方程。對於一個具體的問題，定解條件和泛定方程總是同時給出。定解條件與泛定方程作為一個整體，被稱為定解問題。若定解條件為初始條件，則稱該問題為初值問題或柯西問題。若定解條件為邊界條件，則稱該問題的邊值問題。若定解條件中既有邊值條件又有初值條件，則稱定解問題為初邊值問題或混合問題。一個定解問題，滿足下列三個條件則稱為適定的：
（1）存在性
定解問題至少存在一個解
（2）唯一性
定解問題至多只有一個解
（3）穩定性
當定解條件在某種意義下做微小變動時，相應的定解問題的解也只做微小變動。
2、三種邊界條件
微分方程求解中的邊界條件有三類基本形式：第一類邊界條件（狄里克雷邊界條件）、第二類邊界條件（諾依曼邊界條件）、第三類邊界條件（魯賓邊界條件）。
狄利克雷(Dirichlet)邊界條件也被稱為常微分方程或偏微分方程的“第一類邊界條件”，指定微分方程的解在邊界處的值。求解這樣的方程的解的問題被稱為第一類邊值問題或狄利克雷問題。
諾依曼(Neumann)邊界條件，也即第二類邊界條件，指定微分方程的解在邊界處沿法線方向的導數或偏導數。求解這樣的方程的解的問題被稱為第二類邊值問題或諾依曼問題。
如果邊界條件既包含第一類也包含第二類，則稱為第三類邊界條件，這樣的問題被稱為第三類邊值問題或魯賓(Robin)邊界條件。
3、幾個重要的偏微分方程
（1）弦振動方程（雙曲線偏微分方程）
弦振動方程在18世紀首次由達朗貝爾 (d’Alembert)等學者提出,是偏微分方程的典型代表,也是最典型的雙曲方程——波動方程,弦振動方程的提出對研究波的傳播以及彈性體的振動具有重要作用。(一維形式）
（2）熱傳導方程（拋物線型偏微分方程）
熱傳導方程（或稱熱方程）是一個重要的偏微分方程，它描述一個區域內的溫度如何隨時間變化。
（三維形式）
（3）拉普拉斯方程（橢圓型方程）
齊次的即為Laplace方程，非齊次的即為Poisson方程。
