數學物理方程<1>偏微分方程的基本概念

1.定義

關於未知函數 \(u=u(x_1,x_2,...,x_m)(m>2)\)的偏微分方程是指$$F=(x,u,u_{x_1},...,u_{x_m},u_{x_1x_1},..,u_{x_1x_m},...)$$即，F是\(x,u\),以及\(u\)的有限個偏微商的函數.
n階偏微分方程：\(F\) 中含有 \(u\) 的偏導數的最高階數為 \(n\)
線性偏微分方程：\(F\) 關於\(u\) 及其偏導數是線性的
\(\qquad\) m 維空間中，二階線性pde一般形式為：$$\sum {i,j=1}^m a{ij}\frac {\partial^2u}{\partial x_i \partial x_j} +\sum _i^m b_i\frac {\partial u}{\partial x_i } +cu=f \qquad(1)$$其中 \(a_{ij}=a_{ji},b_i,c,f\) 都是\((x_1,x_2,...,x_m)\)的函數

2.三類主要方程

主要的三類方程

\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\Delta u=f \quad (波動方程、雙曲線)\qquad(2) $$\]

\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=f \quad (熱傳導方程、拋物型)\qquad(3)

\[\]

-\Delta u=f \quad (位勢方程、橢圓形)\qquad(4)

\[其中$\Delta為Laplace$算子，$\Delta=\sum\limits _{i=1}^m \frac {\partial^2}{\partial {x_i ^2}},f為(x_1,x_2,...,x_m,t)或者(x_1,x_2,...,x_m)$的函數，$a^2$為常數. 這三類方程都是二階線性偏微分方程$$\qquad\qquad\sum _{i,j=1}^m a_{ij}\frac {\partial^2u}{\partial x_i \partial x_j} +\sum _i^m b_i\frac {\partial u}{\partial x_i } +cu=f \qquad\]

令 \(A=(a_{ij})_{i,j=1,2,\cdots,m}\)， 從而從矩陣A的特征值的性質來考察三類方程：

(1) 對於波動方程 \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\Delta u=f\),
取 \(m=n+1,t=x_{n+1}\),則

\[A=\begin{bmatrix} {-a^2}&{}&{}&{}\\ {}&{\ddots}&{}&{}\\ {}&{}&{-a^2}&{}\\ {}&{}&{}&{1}\\ \end{bmatrix}\]

A的特征值除了有一個為正（或負），其它全為負（或正），A為不定（或負定）。

(2) 對於熱傳導方程 \(\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=f\)，
取 \(m=n+1,t=x_{n+1}\),則

\[A=\begin{bmatrix} {-a^2}&{}&{}&{}\\ {}&{\ddots}&{}&{}\\ {}&{}&{-a^2}&{}\\ {}&{}&{}&{0}\\ \end{bmatrix}\]

A的特征值除了有一個為0以外，其它全為正（或負），A為非正（或非負）。

(3) 對於位勢方程 \(-\Delta u=f\)，
取 \(m=n\),則

\[A=\begin{bmatrix} {-1}&{}&{}\\ {}&{\ddots}&{}\\ {}&{}&{-1}\\ \end{bmatrix}$$A的全部特征值全為正（或負），**A為正定（或負定）**。 # 二階方程的分類 二階線性偏微分方程$$\qquad\qquad\sum _{i,j=1}^m a_{ij}\frac {\partial^2u}{\partial x_i \partial x_j} +\sum _i^m b_i\frac {\partial u}{\partial x_i } +cu=f \qquad\]

橢圓：\(A(x_0)\)的特征值全為正（或負)，稱方程為橢圓型。
\(\qquad\)位勢方程\(-\Delta u=f\) 為橢圓形方程的標准型。
拋物型：\(A(x_0)\)的特征值除了有一個為 0 以外，其它 \(m-1\) 個全為正（或負)，稱方程為拋物型。
\(\qquad\) 熱傳導方程 \(\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=f \quad\)為拋物型方程的標准型。
雙曲型：\(A(x_0)\)的特征值除了有一個為負（或正)，其它 \(m-1\) 個全為正（或負)，稱方程為雙曲型。
\(\qquad\) 波動方程 \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\Delta u=f\) 為雙曲型方程的標准型。

若對於區域 \(\bar{\Omega}\)上的每一點均成立，則稱方程在區域 \(\bar{\Omega}\)上是橢圓形的

一個重要定理

注：（3.4） 代表方程（1），（3.1）-（3.3）分別代表（2）-（4）


注：

解的適定性的概念

如果定解問題的解存在、唯一且穩定，則稱定解問題為適定的。
【解的穩定性】
解是否連續依賴於定解數據

【度量】

通過線性賦范空間的概念，確切的給出解的穩定性的概念。