1.2 基本概念和常微分方程的發展史
自變量、未知函數均為實值的微分方程稱為實值微分方程；未知函數取復值或變量及未知函數均取復值時稱為復值微分方程。若無特別聲明，以下均指實變量的實值微分方程。
1.2.1 常微分方程基本概念
(1) 常微分方程和偏微分方程
微分方程就是聯系自變量 、未知函數及其的關系式。如果在微分方程中，自變量的個數只有一個，則稱這種微分方程為常微分方程；自變量的個數為兩個或兩個以上的微分方程為偏微分方程。一般的n階常微分方程具有形式：
\[F\left( {x,y,\frac{{dy}}{{dx}}, \cdots ,\frac{{{d^n}y}}{{d{x^n}}}} \right) = 0\]
(1.38)
微分方程中出現的未知函數最高階的階數稱為微分方程的階數。
此后，我們把常微分方程稱為“微分方程”，有時更簡稱為“方程”。
(2) 線性和非線性
如果方程(1.38)的左端為未知函數及其各階導數的一次有理整式，則稱(1.38)為n階線性微分方程。一般n階線性微分方程具有形式
不是線性方程的方程稱為非線性方程。例如方程
(3) 解和隱式解
如果函數$y = \varphi (x)$代入方程(1.38)后，能使它變為恆等式，則稱函數$y = \varphi (x)$為方程(1.38)的解。如果關系式$\varPhi (x,y) = 0$決定的函數$y = \varphi (x)$是方程(1.38)的解，稱為稱$\varPhi (x,y) = 0$為方程(1.38)的隱式解，隱式解也稱為“積分”。為了簡單起見，以后我們不把解和隱式解加以區別，統稱為方程的解。
(4) 通解和特解
我們把含有n個獨立的任意常數$c_1,c_2,\cdots,c_n$的解
稱為n階方程(1.38)的通解。為了確定微分方程一個特定的解，我們通常給出這個解所必須的條件，這就是所謂的定解條件。常見的定解條件是初值條件和邊值條件。求微分方程滿足定解條件的解，就是所謂定解問題。當定解條件為初值條件時，相應的定解問題，就稱為初值問題。我們主要討論初值問題。
我們把滿足初值條件的解稱為微分方程的特解。初值條件不同，對應的特解也不同。一般來說，特解可以通過初值條件的限制，從通解中確定任意常數而得到。
(5) 積分曲線和方向場
一階微分方程
的解$y = \varphi (x)$表示$Oxy$平面上的一條曲線，稱為微分方程的積分曲線，而通解$y=\varphi(x,c)$表示平面上的一族曲線，特別$\varphi(x_0)=y_0$則為過點$(x_0,y_0)$的一條積分曲線，積分曲線上過每一點的切線斜率dy/dx為方程右端f(x,y)在該點處的值；反之，如有一條曲線，其上每一點的切線斜率為f(x,y)，則此曲線為積分曲線。
可以用f(x,y)在Oxy平面某區域D上定義過各點的小線段的斜率方向，這樣的區域D稱為方程(1.47)所定義的方向場，又稱向量場。可以用方向場定義相應的微分方程(1.47)。
方向場中方向相同的曲線f(x,y)=k稱為等傾斜線或等斜線。可以利用取不同k值的等斜線來差別積分曲線的走向。
(6) 微分方程組
用兩個及兩個以上的關系式表示的微分方程稱為微分方程組。習慣將一般n階常微分方程寫為解出最高階導數的形式
取變換
則n階方程(1.48)可以用一階方程組
代替，即可以將高階微分方程或高階微分方程組變換為一般的一階微分方程組
或簡單寫成向量形式
其中
(7) 駐定與非駐定，動力系統
如果方程右端不含自變量t
則稱為駐定(自治)的，右端含t的微分方程組(1.49)稱為非駐定(非自治)的。
對非駐定微分方程組(1.49)，可以引進新的時間$\tau$，方程組(1.49)可化為
成為n+1維空間(t;y)駐定方程。
駐定微分方程組(1.50)的過y的解$\varphi(t;y)$可以視t為參數，有非常好的性質：可看成為D到D的單參數變換群，也就是：如果記$\Phi_t(y)=\varphi(t;y)$，令$\Phi_t(y)$為參數t的y∈D的映射(變換)，則映射在D上滿足恆同性$\varPhi_0(y)=y$和可加性$\varPhi_{t_1+t_2}(y)=\varPhi_{t_1}(\varPhi_{t_2}(y))=\varPhi_{t_2}(\varPhi_{t_1}(y))$，滿足上述性質的映射稱為動力系統。
(8) 相空間、奇點和軌線
不含自變量、僅由未知函數組成的空間稱為相空間。積分曲線在相空間中的投影稱為軌線。對駐定微分方程組(1.50)，方程組f(y)=0的解y=y*表示相空間中的點，它滿足微分方程組，故稱為平衡解(駐定解、常數解)，又稱為奇點(平衡點)。
對平面一階駐定微分方程組
其相空間(x,y)又稱為相平面。駐定方程的積分曲線有特殊的性質：時間軸t的平移不影響方向場(因為右邊與t無關)，即可以在空間(x,y,t)將方程的積分曲線投影到(x,y)平面上，方程組(1.51變為
其在Oxy平面上的積分曲線即為方程組(1.51)軌線。同樣可用Oxy平面上方程(1.52)的方向場進行研究，直接在相平面上進行討論)。
可以應用等傾斜線方法確定軌線的方向，其中相平面上滿足f(x,y)=0的曲線表示軌線的x方向變化為0，稱為垂直等傾斜線，過曲線的點的軌線的切線垂直於x坐標軸；而g(x,y)=0的曲線稱為水平等傾斜線，過曲線的點的軌線的切線平行於x坐標軸。垂直等傾斜線與水平等傾斜線的交點$(x_0,y_0)$為奇點，方程有解$x(t)=x_0,y(t)=y_0$。可以通過垂直等傾斜線與水平等傾斜線在相平面上划分區域判斷軌線的走向。
常微分方程的發展歷史
常微分方程是由用微積分處理新問題而產生的，它主要經歷了創立及解析理論階段、定性理論階段和深入發展階段。17 世紀，牛頓(I.Newton ，英國，1642-1727)和萊布尼茲(G.W.Leibniz ，德國，1646-1716)發明了微積分，同時也開創了微分方程的研究最初，牛頓在他的著作《自然哲學的數學原理機(1687年)中，主要研究了微分方程在天文學中的應用， 隨后微積分在解決物理問題上逐步顯示出了巨大的威力。但是，隨着物理學提出日益復雜的問題，就需要更專門的技術，需要建立物理問題的數學模型，即建立反映該問題的微分方程。1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)提出了等時間題和懸鏈線問題．這是探求微分方程解的早期工作。雅可比·伯努利自己解決了前者。翌年，約翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、萊布尼茲和惠更斯（C.Huygens ，荷蘭，1629-1695)獨立地解決了后者。
有了微分方程，緊接着就是解微分方程，並對所得的結果進行物理解釋，從而預測物理過程的特定性質．所以求解就成為微分方程的核心，但求解的困難很大，一個看似很簡單的微分方程也沒有普遍適用的方法能使我們在所有的情況下得出它的解。因此，最初人們的注意力放在某些類型的微分方程的一般解法上。
1691 年，萊布尼茲給出了變量分離法。他還把一階齊次方程使其變量分離。1694 年，他使用了常數變易法把一階常微分方程化成積分。
1695 年，雅可比·伯努利給出著名的伯努利方程。萊布尼茲用變換，將其化為線性方程。約翰和雅可比給出了各自的解法，其本質上都是變量分離法。
1734 年，歐拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)給出了恰當方程的定義。他與克萊羅(A.C. Clairaut，法國，1713-1765)各自找到了方程是恰當方程的條件，並發現：若方程是恰當的，則它是可積的。那么對非恰當方程如何求解呢？1739 年克萊羅提出了積分因子的概念，歐拉確定了可采用積分因子的方程類屬。這樣，到 18 世紀 40 年代，一階常微分方程的初等方法都已清楚了，與此相聯系，通解與特解的問題也弄清楚了。
1734 年，克萊羅在他的著作中處理了現在以他的名字命名的方程，他給出了一個新的解，從而提出了奇解的問題。奇解是不能通過給積分常數以一個確定的值由通解來求得。歐拉、拉普拉斯(P.S.Laplace ，法國，1749-1827 )、達朗貝爾(J.Alembert，法國，1717-1783) 都涉及奇解這個問題，然而只有拉格朗日(J.Lagrange，意大利，1736-1813)對奇解與通解的聯系作了系統的研究，他給出了從通解消去常數項從而得到奇解的一般方法．但在奇解理論中，有些特殊的困難他並沒有認識到。奇解的完整理論是19 世紀發展起來的。其中黎曼(G.Riemann ，德國，1826-1866 )作出了突出的貢獻。
1728 年，歐拉由於力學問題的推動，把一類二階微分方程用變量替換成一階微分方程組，這標志着二階方程的系統研究的開始。此后，歐拉完整地解決了常系數線性齊次方程的求解問題和非齊次的n階線性常微分方程的求解問題。拉格朗日在1762 年至1765 年間又對變系數齊次線性微分方程進行了研究。
在18 世紀前半葉，常微分方程的研究重點是對初等函數施行有限次代數運算、變量代換和不定積分把解表示出來：至18 世紀下半葉，數學家們又討論了求線性常微分方程解的常數變易法和無窮級數解法等方法：至18 世紀末，常微分方程己發展成一個獨立的數學分支。
19 世紀，柯西(A.L.Cauchy ，法國，1789-185)、劉維爾(J.Liouville，法國，1809-1882)、 維爾斯特拉斯(K.Weierstrass，德國，1815-1879)和皮卡(E.Picard ，法國，1865-1941)對初值問題的存在唯一性理論作了一系列研究，建立了解的存在性的優勢函數、逐次逼近等證明方法。這些方法又可應用於高階常微分方程和復數域中的微分方程組法國數學家龐加萊(H.Poincare，1854-1912)和俄國的李雅普諾夫(Liapunov，1857-1918)共同奠定了穩定性的理論基礎。自群論引入常微分方程后，使常微分方程的研究重點轉向解析理論和定性理論。19世紀末，法國數學家龐加萊連續發表了4 篇文章，依賴幾何拓撲直觀對定性理論進行了研究， 李雅普諾夫應用十分嚴密的分析法又進行了研究，從而奠定了微分方程定性理論的基礎。由於行星或衛星軌道的穩定性問題，周期解的重要性提到日程上來。西格爾(L.Siegel ，德國，1896-1981)創立了周期系統的線性齊次微分方程的數學理論。在 1877 年的論文中，他求出了對月球運動的諸微分方程確定一個近似於實際觀察到的運動的周期解，並證明了二階微分 方程有周期解．
20 世紀，微分方程進入了廣泛深入發展階段。隨着大量的邊緣學科的產生和發展，出現了不少新型的微分方程(組)，微分方程在無線電、飛機飛行、導彈飛行、化學反應等方面得到了廣泛的應用，從而進一步促進了這一學科的發展，使之不斷完善，對它的研究也從定性上升到定量階段。像動力系統、泛函微分方程、奇異攝動方程以及復域上的定性理論等等都是在傳統微分方程的基礎上發展起來的新分支。