偏微分方程的數值解法
主要總結常見橢圓形、雙曲型、拋物型偏微分方程的數值解法
橢圓偏微分方程
拉普拉斯方程是最簡單的橢圓微分方程
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \]
確定偏微分方程的邊界條件主要采用固定邊界條件： \(u|_\Gamma = U_1(x, y)\) 即在邊界\(\Gamma\)上給定\(u\)的值\(U_1(x, y)\)
五點差分格式
五點差分格式的形式為：
\[u_{i +1, j} + u_{i - 1, j} + u_{i, j + 1} + u_{i, j - 1} = 4u_{i, j} \]
以\(u_{i, j}\)為中心向其上下左右做差分，並用這些近似的代替\(u_{i, j}\)
運用五點差分法可以求出下列邊值問題
\[\begin{cases} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0\\ u(x_1, y) = g_1(x), u(x_2, y) = g_2(x)\\ u(x, y_1) = f_1(y), u(x, y_2) = f_2(y)\\ x_1 \le x \le x_2, y_1 \le y \le y_2\\ \end{cases} \]
求解過程如下：
- 對求解區域進行分割：將\(x_{min} \le x \le x_{max}\)范圍內的的\(x\)軸等分成\(NX\)段， 同理將\(y\)軸等分成\(NY\)段
- 將邊界條件離散到格點上
- 用五點差分格式建立求解方程，求出各個格點的函數值
程序設計：
實現函數格式為u = peEllip5(nx, minx, maxx, ny, miny, maxy)
| 變量名 | 變量作用 |
|---|---|
nx |
x方向上的節點數 |
minx |
求解區間x的左端 |
maxx |
求解區間x的右端 |
ny |
y方向的節點數 |
miny |
求解區間y的左端 |
maxy |
求解區間y的右端 |
u |
求解區間上的數值解 |
建立邊界條件函數
``