偏微分方程數值解---學習總結(1)

1.知識回顧 （注:\(\mit V\)是線性空間）

• 內積

  $(\cdot ,\cdot):\mit V \times \mit V \longrightarrow \mathbb{R} $ 是一個雙線性映射，並且滿足 \((i) (u,v)=(v,u), \forall \, u,v \in\mit V\);

  $(ii) (u,u) \ge 0, \forall , u \in \mit V $ ; \((iii) (u,u)=0\) 當且僅當 \(u=0\).

• 半范數

  \(||\cdot||:\mit V \longrightarrow \mathbb{R}\) 是一個線性映射，滿足 下列條件:

  \[\begin{align} &(i) ||v||\ge 0, \forall \, v \in \mit V;\\ &(ii) ||cv||=|c|||v||,\forall v \in \mit V, \forall c \in \mathbb{R}; \\ &(iii) ||u+v||\leq ||u||+||v||, \forall u, v \in \mit V. \end{align} \]

• 范數

  范數+條件 ”\(||u||=0\)當且僅當 \(u=0\)".

• 范數等價定理：

  設 \(||\cdot||\) 和 \(|||\cdot|||\) 是線性空間 \(\mathbf V\) 上兩個范數，如果存在兩個正數 \(c_1\) 和 \(c_2，\)

  滿足下列 不等 式, 則稱 \(||\cdot||\) 和 \(|||\cdot|||\) 是等價的，

  \[c_1 ||v||\leq |||v||| \leq c_2 ||v||, \forall \,c_1,c_2 \in \mathbb{R},\,\forall \,v \in \mit V. \]

• 內積空間

  一個線性空間被賦予內積, 它就是一個內積空間.

  • 內積可以產生誘導范數

    \[||v||=(v,v)^{1/2},\,\forall \,v \in \mit V. \]

  • Schwarz inequality

    \[|(w,v)|\leq ||w||\,||v||,\, \forall w,v \in \mit V. \]

• 希爾伯特空間

  完備的內積空間是希爾伯特空間 (即內積空間內任意柯西序列都是收斂的).

• 賦范線性空間

  一個線性空間被賦予范數，則它成為賦范線性空間。

  • 內積空間一定是賦范線性空間，其范數為 \(||v||=(v,v)^{1/2},\,\forall \,v \in \mit V.\)

• 巴拿赫空間

  完備的賦范線性空間，即賦范線性空間內任意柯西序列都是收斂的.

  • 希爾伯特空間一定是巴拿赫空間。

2. 重要概念

• 對偶空間

  • 如果（\(\mit V, ||\cdot||_{\mit V}\)）和 （\(\mit W, ||\cdot||_{\mit w}\)）是兩個賦范線性空間, 從\(\mathbf V\) 到\(\mit W\) 的所有線性泛函構成一個賦范線性空間 , 記為 \(\scr L(\mit V;\mit W)\) . 對於 \(L \in \scr L(\mit V;\mit W)\),定義范數如下：

    \[||L||_{\scr L(\mit V;\mit W)}:=\sup_{0\neq v \in \mit V}\frac{||Lv||_{\mit W}}{||v||_{\mit V}}. \]

  • 如果\(\mit W\) 空間是一個巴拿赫空間，則 \(\scr L(\mit V;\mit W)\) 也是一個巴拿赫空間。

  • 如果\(\mit W=\mathbb{R}\), 則稱\({\color{Red}\scr L(\mit V;\mathbb{R})}\)是 \(\mit V\) 的對偶空間，常記為\({\color{Red}\mit V'}\).

  • 對偶對(duality pairing)滿足下列的雙線性形式，就被稱為 \(\mit V\) 和\(\mit V'\) 之間的對偶對，

    \[\begin{align*} <\cdot\,,\,\cdot>&:\mit V' \times \mit V \longrightarrow \mathbb{R}\\ &<L,v>\longmapsto L(v). \end{align*} \]

• 各種收斂性定義

  • 強收斂：

    賦范線性空間\(\mit V\) 中序列 \(\{v_n\}\) 弱收斂於 \(v \, \in \mit V\) 是指按范數收斂，即 \(||v_n-v||\rightarrow0(n\rightarrow \infty).\)

  • 弱收斂：

    賦范線性空間\(\mit V\) 中序列 \(\{v_n\}\) 弱收斂於 \(v \, \in \mit V\) 是指 對任意一個\(L\in\mit V'\), 均有 \(L(v_n)\) 收斂於\(L(v),\) 即 \(|L(v_n)-L(v)|\rightarrow0(n \rightarrow \infty).\)

  • *弱收斂

    對偶空間\(\mit V’\) 中序列 \(\{L_n\}\) 弱收斂於 \(L \, \in \mit V'\) 是指對任意一個 \(v\in \mit V\), 均有 \(||L_n(v)-L(v)||\rightarrow 0(n \rightarrow \infty).\)

    • \({\color{Red}\mit V 中強收斂 \Rightarrow 弱收斂.}\)

    • \({\color{Red}\mit V' 中弱收斂 \Rightarrow * 弱收斂.}\)

• \(\mit L^{p}(\Omega)\) 空間 \(\Omega_{開}\subset \mathbb{R}^{d}\),\(d\ge 1\),且 \(\Omega\) 是 Lebesgue 可測。

  \[\begin{align*}\mit L^{p} &:=\left\{v\,\,\big|\int_{\Omega}\,\left|v(x)\right|\,^p\,dx \leq \infty \right\},\,1 \leq p\, <\infty,\\ \mit L^{\infty} &:=\sup\left\{|v(x)|, \,\,x\in\Omega \right\}<\infty. \end{align*} \]

  其范數為：

  \[\begin{align*}||v||_{\mit L^{p}} &:=\left(\int_{\Omega}\,\left|v(x)\right|\,^p\,dx\right)^{1/p} ,\,1 \leq p\, <\infty,\\ ||v||_{\mit L^{\infty}} &:=\sup\left\{|v(x)|, \,\,x\in\Omega \right\} \end{align*} \]

• \(\mit L^{2}(\Omega)\) 空間實際上就是希爾伯特空間，其內積為 \((w,v)_{\mit L^{2} (\Omega)}=\int_{\Omega}\,w(x)\,v(x)\;dx\)

  • \(||\cdot||_0=||\cdot||_{\mit L^{2} (\Omega)}\) 記住
  • \(\mit L^{p}(\Omega)\) 是 \(Banach\) 空間, 它的對偶空間為\(\mit L^{q}(\Omega)\), \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,\) 而只有 \(\mit L^{2}(\Omega)\) 是Hilbert 空間(對偶空間為本身).
  • \(H \ddot{o}lder\)不等式：\(\big|\int_{\Omega}\, w(x)v(x)dx \big|\leq\,||w||_{\mit L^{p}(\Omega)}||v||_{\mit L^{q}(\Omega)},\,\,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\)
  • \(\mit L^{p}(\Omega)\) $ \subset \mit L^{q}(\Omega),,,,q\leq p.$

• 分布函數（\(Distributions\)）

  • \(\mit C^{\infty}_{0}(\Omega)\) 是 \(\Omega\) 上具有緊支集(i.e. 存在有界開集\(\Omega'\subset \Omega\), \(d (\partial\Omega,\Omega)>0\)) 無窮維可微函數函數，且在邊界上任意階導數為零, 有時也記成 \(\mathcal{D}(\Omega)\).

  • \(\mathcal{D}(\Omega)\) 中元素的導數 \(D^{\alpha}v:=\frac{\partial^{|\alpha|}v}{\partial^{\alpha_1}x_1\partial^{\alpha_2}x_2 \cdots\partial^{\alpha_d}x_d},\) 其中 \(|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_d.\)

  • \(v_n \in \mathcal{D}(\Omega)\) 收斂於 \(v \in \mathcal{D}(\Omega)\) 是指 存在一個有界閉子集\(K\) 滿足對任意一個 \(n\)，\(v_n\)在\(K\) 外均為0，且對任意非負指標 \(\alpha\), 導數 \(\mathcal{D}^{\alpha}v\) 一致收斂於\(\mathcal{D}^{\alpha}v.\)

  • 分布函數： \(\mathcal{D}(\Omega)\) 的對偶空間中的元素被稱為分布函數. 換句話說, 分布就是\(\mathcal{D}(\Omega)\) 上的線性泛函，\(L \in \mathcal{D'}(\Omega)\) 且 \(\forall \,v \in \mathcal{D}(\Omega),\) \(L(v)=<L,\,v>\) \(dualiy \,\,pairing.\)

  • \(\mathcal{D}(\Omega)\) 上的范數，\(||v||_k=\sup_{\Omega}|v(x)|, \, v \in\mathcal{D}(\Omega).\)(可以自己證明一下)*

  • \({\color{Red}分布的導數}\): \(\mit L \in \mathcal D'(\Omega)\), \(\mit L\) 的 \(\alpha=(\alpha_1,\alpha_1,\cdots,\alpha_d)\) 階導數定義如下：

    \[\begin{align*} <D^{\alpha}\mit L，v>=(-1)^{|\alpha|}<\mit L,D^{\alpha}v>,\forall\, v\in\mathcal D(\Omega), D^{\alpha }v \in \mathcal D(\Omega) . \end{align*} \]

  • 定理1 ：

    如果 \(\mit L\) 是 \(\mathcal D(\Omega)\) 上一個光滑的函數，則分布意義下的導數 \(D^{\alpha}\mit L\) 與經典意義下的導數是一致的，即 \(D^{\alpha}\mit L=\mit L^{(\alpha)}\).（證明思路利用分部積分)

    實際上, 分布的導數就是經典導數的廣義導數.

    • 例1 ：\(f(x)=|x|,x\in R\)， \(f\not\in C^{1}(R)，\) 雖然在經典導數意義下\(f'\) 在 \(x=0\) 處是沒有定義的，但是我們卻可以得到分布意義下的導數

      \[D' f=\begin{cases}1 \,\,&x\,\ge0\\-1\,\,&x<0. \end{cases} \]

    • 例2：\(D^2f=D^{1}(D^{1}f)\), 對任意 \(v\in \mathcal D(R),\)

      \[\begin{align*} <D^{1}(D^{1}f)>&=-<d^{1}f,D^{1}v>\\ &=-\int^{\infty}_{0}D^{1}vdx+\int^{0}_{-\infty}D^{1}vdx\\ &=v(0)+v(0)\\ &=2v(0). \end{align*} \]

      實際上，\(D^{2}f=\delta_0\), 其中 \(\delta_0\) 是 \(Dirac\) 函數，定義為 \(<\delta_0,v>=2v(0),\forall v\in \mathcal D(\Omega)\).

1. 重要結果：\(\mit L^{p}(\Omega) \subset \mathcal{D'}(\Omega)\), but $ \mathcal{D'}(\Omega) \not\subset \mit L^{p}(\Omega) ,,p\ge,1.$

   * step 1 證明 $\forall L \in \mit L^{p}(\Omega) $ 是上的$\mathcal{D}(\Omega)$線性泛函；
   

\[ \begin{align*} L(v)&=<L,v>=\int_{\Omega}L(x)v(x)\,dx,\forall v\, \in \mathcal{D}(\Omega).\\ L(\alpha_1 v_1 +\alpha_2 v_2)&=<L,\alpha_1 v_1 +\alpha_2 v_2>\\ &=\alpha_1<L,v_1>+\alpha_2<L,v_2>\\ &=\alpha_1L(v_1)+\alpha_2L(v_2),\,\,\,\,\,\,\forall\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R},v_1,v_2 \in\mathcal{D}(\Omega). \end{align*} \]

• step 2 證明 \(L\) 是連續的，即證 \(|L(v)|\leq C||v||_{\mathcal{D}(\Omega)}.\)下面我們來證明：

\[ \begin{align*} L(v)&=\int_{\Omega}L(x)v(x)\,dx \leq ||L||_p||v||_q\\ &\leq ||L||_p(\int_{\Omega}|v(x)|^{q}dx)^{\frac{1}{q}}\\ &\leq ||L||_p ||v||_{\mathcal{D}(\Omega)}|\Omega|^{\frac{1}{q}}\\ &\leq C||v||_{\mathcal{D}(\Omega)}. \end{align*} \]

• step3 證明 $ \mathcal{D'}(\Omega) \not\subset \mit L^{p}(\Omega) ,,p\ge,1.$

  對任意 \(v\in \mathcal D(\Omega)\), \(<\delta_0,v>=v(0).\) 事實上, $\delta_0 $ 是\(\mathcal \,D(\Omega)\) 上的連續線性泛函，

\[\begin{align*} <\delta_0,t_1v_1+t_2v_2>&=(t_1v_1+t_2v_2)(0)\\ &=t_1v_1(0)+t_2v_2(0)\\ &=t_1<\delta_0,v_1>+t_2<\delta_0,v_2>.\\ |<\delta_0,v>|&=|v(0)|\leq ||v||,其中||v|| =\sup_{\Omega}|v(x)|. \end{align*} \]

假設$ \mathcal{D'}(\Omega) \subset \mit L^{p}(\Omega) ,,p\ge,1\(, 由\)Riesz$ 表示定理知，對任意一個 $v\in\mathcal D(\Omega) $, 存在

$w\in\mathcal{D'}(\Omega) $滿足下列式子 \(\delta_0(v)=<w,v>=\int_{\Omega}w(x)v(x)dx\), 這顯然不對，例如

取一個特殊的磨光函數 \(v_0\) ,它在 \(x=0\) 處取值無窮，在其它位置取值為0.

3. \(Sobolve\) 空間

\(Sobolve\) 空間 是后面學習變分問題以及各種邊值問題的基礎空間.

• \(Sobolve\) 空間:

\[W^{k,p}(\Omega):=\{ v\in\mit L^{p}(\Omega)\big|D^{\alpha}v\in\mit L^{p}(\Omega),\forall\,\alpha \,such\, that\, |\alpha|\leq k\} \\ \text 也就是表示本身及知道 k 階導數均屬於\mit L^{p}(\Omega)的函數空間. \]

• $ W^{k,p}_{(\Omega)}$上范數

\[||v||_{k,p,\Omega}=||v||_{k,p}=(\sum_{|\alpha|\leq k}||D^{\alpha}v||^{p}_{\mit L^{p}})^{\frac{1}{p}} \]

• $ W^{k,p}_{(\Omega)}$ 上半范數

  \[|v|_{k,p,\Omega}=|v|_{k,p}=(\sum_{|\alpha|= k}||D^{\alpha}v||^{p}_{\mit L^{p}})^{\frac{1}{p}} \]

• 幾種重要的特殊情況

  \[\begin{align} d=1,\,\,\, \,W^{k,p}(I)&=\{ v\in\mit L^{p}(I)\big|D^{\alpha}v\in\mit L^{p}(I), \alpha=1,2,\cdots, k\}\\ p=2,\,\,\,\,\,H^{K}(\Omega)&=W^{k,p}(\Omega),\begin{cases} \mbox{范數}||v||_{k }=(\sum_{|\alpha|=k}||D^{\alpha}v||^{2}_0)^{\frac{1}{2}},\\ \mbox{半范數}||v||_{k }=(\sum_{|\alpha|=k}||D^{\alpha}v||^{2}_0)^{\frac{1}{2}} \end{cases}\\ k=0,\,\,\,W^{0,p}(\Omega)&=\mit L^{p}(\Omega). \end{align} \]

• \(W^{k,p}_{(\Omega)}\) 的閉包

\[\begin{align} W^{K,P}_0(\Omega)&=\overline{\mathcal{D}(\Omega)}^{||\cdot||_{k,p}}\\ \mit{H}^{k}_{0}(\Omega)&=W^{K,P}_0(\Omega)=\left\{ v\in\mit{H^k}(\Omega) ,\gamma_0(D^{\alpha}v) =0,|\alpha|\leq k-1 \right\}\\ \mit{H}^1_0(\Omega)&=\left\{v\in\mit{ H}^1(\Omega),v\big|_{\partial\Omega}=0\right\} \end{align} \]