前言
本文是基於 【MIT公開課】多重變量微積分 第15講（復習課）進行復習及筆記整理。
筆記中間可能會穿插相關知識點的quick review，有可能不屬於視頻內容。筆記順序有可能與視頻不符。請諒解。
感謝Prof. Denis Auroux，MIT OpenCourseWare以及中文字幕組對知識的奉獻。
Topics
- 多元函數
- 全/偏微分
- 梯度
- 方向導數
雜項
以下是在正文知識點以前寫出視頻中提到的“不會考試”的內容。但實際上有一部分學校是會考到的。盡管如此，還是尊重了原視頻的格式。不重要內容打上了星號。
多元函數
使用圖像對多元函數進行探究。學會如何看等高線。
偏微分方程、梯度
偏微分配合梯度能夠用來研究多元函數的變化。
求函數的近似
可以使用偏微分和梯度求解（切平面近似）。
原理：使用目標點附近的切平面對函數進行近似從而求解。函數f的主要變化率（sensitive）就是由各個偏導決定的。
公式：
其中delta r為位置的改變量。
這種近似給出了一種找等值面的切平面的方法。
*物理意義
偏微分方程對物理世界意義重大，許多物理現象可以用偏微分方程表述。
熱傳遞，波動方程，擴散方程……（具體方程不再列出）
最優化及最值問題
臨界點
所有偏導數為0的點。其分為：極大值、極小值以及鞍點。
求解區分不同類型臨界點
二階偏導數
這是教材中所用的方法。在此復習一遍。（此為極值存在的充分條件，但只對二元函數有效）
A. 求出駐點
:
B. 查看駐點的二階偏導數 :
C. 計算D值並比較：
：有極值：當
取得極大值；當
取得極小值；
：沒有極值；
：可能有極值，也可能沒有.
注意：這種方法不一定能准確確定函數最值點，需要考慮函數邊界。
side notes：極值存在的必要條件？
函數有駐點即可。有駐點不一定有極值，但極值點必定是駐點。
*最小二乘法
可以用來尋找離散數據點得到線性擬合。
全微分
基本概念
對於
:
一般形態：
鏈式法則：
如果 
, 
, 
:
如何理解？
通過探究u對於x, y, z的變化率
影響x, y, z對於f的變化率
.
v變量同理。
相關變量問題（帶約束的偏導數）
當變量x, y, z被某個方程限制住，無法隨地大小變的時候應該如何處理？
1. 消元法
利用所給方程進行消元。簡單直觀好用，但不是百試百靈。所以需要更多方法作為消元法的補充。
2. 拉格朗日乘數法
假設函數的極大值和極小值受到函數
約束：
3+1個方程，能夠不管以前約束條件的完全解出未知量。但不同問題計算量有較大偏差，甚至可能解不出來。題目一般會只讓寫出方程組即可，不用計算。
知乎@馬同學 給出了與Prof類似的幾何理解（可視化）。這里貼出鏈接，可以前往學習。如何理解拉格朗日乘子法？ - 馬同學的回答
（溫馨提示，去了知乎學習完不要被吸引注意力，很容易不小心刷到其他問題然后荒廢一下午！）
梯度
本質
梯度是一個向量。
梯度是等值面上垂直指向更高等值面的向量。也是函數變化最劇烈的方向。
方向導數
概念
不同於普通偏導數只有三個方向，方向導數可以求出任意向量u方向上f的偏導數。
習題講解
原視頻時間戳：40:11開始的全部內容。
我的思維導圖鏈接
快速跳轉：高等數學-多元函數微分法 思維導圖 以后可能會繼續更新。
完整發布於：2022-04-13 21:08:42