偏微分方程數值解---學習總結

1.知識回顧 （注:\(\mit V\)是線性空間）

• 內積 $(\cdot ,\cdot):\mit V \times \mit V \longrightarrow \mathbb{R} $ 是一個雙線性映射，並且滿足 \((i) (u,v)=(v,u), \forall \, u,v \in\mit V\);

  $(ii) (u,u) \ge 0, \forall , u \in \mit V $ ; \((iii) (u,u)=0\) 當且僅當 \(u=0\).

• 半范數 \(||\cdot||:\mit V \longrightarrow \mathbb{R}\) 是一個線性映射，滿足 \((i) ||v||\ge 0, \forall \, v \in \mit V;\) $(ii) ||cv||=|c|||v||,\forall v \in \mit V, \forall c \in \mathbb{R}; $

  ​ \((iii) ||u+v||\leq ||u||+||v||, \forall u, v \in \mit V.\)

• 范數 半范數+條件：\(||u||=0\) 當且僅當 \(u=0\).

• 范數等價定理：設 \(||\cdot||\) 和 \(|||\cdot|||\) 是線性空間 \(\mathbf V\) 上兩個范數，如果存在兩個正數 \(c_1\) 和 \(c_2，\)

  ​ 滿足下列 不等 式, 則稱 \(||\cdot||\) 和 \(|||\cdot|||\) 是等價的，

  \[c_1 ||v||\leq |||v||| \leq c_2 ||v||, \forall \,c_1,c_2 \in \mathbb{R},\,\forall \,v \in \mit V. \]

• 內積空間 如果一個線性空間被賦予內積,則它就是一個內積空間.

  • 內積可以產生誘導范數

    \[||v||=(v,v)^{1/2},\,\forall \,v \in \mit V. \]

  • Schwarz inequality

    \[|(w,v)|\leq ||w||\,||v||,\, \forall w,v \in \mit V. \]

• 希爾伯特空間 完備的內積空間是希爾伯特空間，即內積空間內任意柯西序列都是收斂的。

• 賦范線性空間 如果一個線性空間被賦予范數，則它成為賦范線性空間。

  • 內積空間一定是賦范線性空間，其范數為 \(||v||=(v,v)^{1/2},\,\forall \,v \in \mit V.\)

• 巴拿赫空間 完備的賦范線性空間，即賦范線性空間內任意柯西序列都是收斂的。

  • 希爾伯特空間一定是巴拿赫空間。

2 . 新概念

• 對偶空間

  • 如果（\(\mit V, ||\cdot||_{\mit V}\)）和 （\(\mit W, ||\cdot||_{\mit w}\)）是兩個賦范線性空間, 所有從\(\mathbf V\) 到\(\mit W\) 的線性泛函構成一個賦范線性空間 , 記為 \(\scr L(\mit V;\mit W)\) . 對於 \(L \in \scr L(\mit V;\mit W)\),定義范數如下：

    \[||L||_{\scr L(\mit V;\mit W)}:=\sup_{0\neq v \in \mit V}\frac{||Lv||_{\mit W}}{||v||_{\mit V}}. \]

  • 如果\(\mit W\) 空間是一個巴拿赫空間，則 \(\scr L(\mit V;\mit W)\) 也是一個巴拿赫空間。

  • 如果\(\mit W=\mathbb{R}\), 則稱\({\color{Red}\scr L(\mit V;\mathbb{R})}\)是 \(\mit V\) 的對偶空間，常記為\({\color{Red}\mit V'}\).

  • 對偶對(duality pairing) 滿足下列的雙線性形式，就被稱為 \(\mit V\) 和\(\mit V'\) 之間的對偶對，

    \[\begin{align*} <\cdot\,,\,\cdot>&:\mit V' \times \mit V \longrightarrow \mathbb{R}\\ &<L,v>\longmapsto L(v). \end{align*} \]

• 各種收斂性定義

  • 強收斂：賦范線性空間\(\mit V\) 中序列 \(\{v_n\}\) 弱收斂於 \(v \, \in \mit V\) 是指按范數收斂，即 \(||v_n-v||\rightarrow0(n\rightarrow \infty).\)

  • 弱收斂：賦范線性空間\(\mit V\) 中序列 \(\{v_n\}\) 弱收斂於 \(v \, \in \mit V\) 是指 對任意一個\(L\in\mit V'\), 均有 \(L(v_n)\) 收斂於 \(L(v),\) 即 \(|L(v_n)-L(v)|\rightarrow0(n \rightarrow \infty).\)

  • *弱收斂：對偶空間\(\mit V’\) 中序列 \(\{L_n\}\) 弱收斂於 \(L \, \in \mit V'\) 是指對任意一個\(v\in \mit V\), 均有

    ​ \(||L_n(v)-L(v)||\rightarrow 0(n \rightarrow \infty).\)

    • \({\color{Red}\mit V 中強收斂 \Rightarrow 弱收斂.}\)

    • \({\color{Red}\mit V' 中弱收斂 \Rightarrow * 弱收斂.}\)

• \(\mit L^{p}(\Omega)​\) 空間 \(\Omega_{開}\subset \mathbb{R}^{d}​\),\(d\ge 1​\),且 \(\Omega​\) 是 Lebesgue 可測。

  \[\begin{align*}\mit L^{p} &:=\left\{v\,\,\big|\int_{\Omega}\,\left|v(x)\right|\,^p\,dx \leq \infty \right\},\,1 \leq p\, <\infty,\\ \mit L^{\infty} &:=\sup\left\{|v(x)| \big| \,\,x\in\Omega \right\}<\infty. \end{align*} \]

  其范數為

\[\begin{align*}||v||_{\mit L^{p}} &:=\left(\int_{\Omega}\,\left|v(x)\right|\,^p\,dx\right)^{1/p} ,\,1 \leq p\, <\infty,\\ ||v||_{\mit L^{\infty}} &:=\sup\left\{|v(x)| \big| \,\,x\in\Omega \right\} \end{align*} \]

• \(\mit L^{2}(\Omega)\) 空間實際上是賦予右側內積的希爾伯特空間，\((w,v)_{\mit L^{2} (\Omega)}=\int_{\Omega}\,w(x)\,v(x)\;dx\)

  • \(||\cdot||_0=||\cdot||_{\mit L^{2} (\Omega)}\) 記住
  • \(\mit L^{p}(\Omega)\) 是Banach空間（它的對偶空間為\(\mit L^{q}(\Omega)\), \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\)），而只有\(\mit L^{2}\) 是Hilbert 空間(對偶空間為本身).
  • \(H \ddot{o}lder​\)不等式：\(\big|\int_{\Omega}\, w(x)v(x)dx \big|\leq\,||w||_{\mit L^{p}(\Omega)}||v||_{\mit L^{q}(\Omega)},\,\,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1​\)
  • \(\mit L^{p}(\Omega)\) $ \subset \mit L^{q}(\Omega),,,,q\leq p.$

• 分布函數（\(Distributions\)）

  • \(\mit C^{\infty}_{0}(\Omega)\) 是 \(\Omega\) 上具有緊支集(i.e. 存在有界開集\(\Omega'\subset \Omega\), \(d (\partial\Omega,\Omega)>0\)) 無窮維可微函數函數，且在邊界上任意階導數為零, 有時也記成 \(\mathcal{D}(\Omega)\).

  • \(\mathcal{D}(\Omega)\) 中元素的導數 \(\mathcal {D}^{\alpha}v:=\frac{\partial^{|\alpha|}v}{\partial^{\alpha_1}x_1\partial^{\alpha_2}x_2 \cdots\partial^{\alpha_d}x_d},\) 其中 \(|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_d.\)

  • \(v_n \in \mathcal{D}(\Omega)\) 收斂於 \(v \in \mathcal{D}(\Omega)\) 是指 存在一個有界閉子集\(K\) 滿足對任意一個 \(n\)，\(v_n\)在\(K\) 外均為0，且對任意非負指標 \(\alpha\), 導數 \(\mathcal{D}^{\alpha}v\) 一致收斂於\(\mathcal{D}^{\alpha}v.\)

  • 分布\(\mathcal{D}(\Omega)\)對偶空間中的任一元素都被稱為一個分布，即分布就是\(\mathcal{D}(\Omega)\) 上的線性泛函，\(L \in \mathcal{D'}(\Omega)\)和 \(v \in \mathcal{D}(\Omega),\) \(L(v)=<L,\,v>\) \(dualiy \,\,pairing.\)

  • 定義 \(\mathcal{D}(\Omega)\)的一個范數，\(||v||_k=\sup_{\Omega}|v(x)|, \, v \in\mathcal{D}(\Omega).\)(可以自己證明一下)

  • $\mit L^{p}(\Omega) $$\subset \mathcal{D'}(\Omega)$, but $ \mathcal{D'}(\Omega) \not\subset \mit L^{p}(\Omega) ,,p\ge,1.$

    step 1 證明 $\forall L \in \mit L^{p}(\Omega) $ 是上的\(\mathcal{D}(\Omega)\)線性泛函；

    \[\begin{align*} L(v)&=<L,v>=\int_{\Omega}L(x)v(x)\,dx,\forall v \in \mathcal{D}(\Omega).\\ L(\alpha_1 v_1 +\alpha_2 v_2)&=<L,\alpha_1 v_1 +\alpha_2 v_2>\\ &=\alpha_1<L,v_1>+\alpha_2<L,v_2>\\ &=\alpha_1L(v_1)+\alpha_2L(v_2),\,\,\,\,\,\,\forall \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R},v_1,v_2 \in\mathcal{D}(\Omega). \end{align*} \]

    step 2 證明\(L\) 是連續的，即證 \(|L(v)|\leq C||v||_{\mathcal{D}(\Omega)}.\)下面我們來證明：

    \[\begin{align*} L(v)&=\int_{\Omega}L(x)v(x)\,dx \leq ||L||_p||v||_q\\ &\leq ||L||_p(\int_{\Omega}|v(x)|^{q}dx)^{\frac{1}{q}}\\ &\leq ||L||_p ||v||_{\mathcal{D}(\Omega)}|\Omega|^{\frac{1}{q}}\\ &\leq C||v||_{\mathcal{D}(\Omega)}. \end{align*} \]

    step3 反證法證明 $ \mathcal{D'}(\Omega) \not\subset \mit L^{p}(\Omega) ,,p\ge,1.$

    ​ 假設$ \mathcal{D'}(\Omega) \subset \mit L^{p}(\Omega) ,$ 則由\(Risze\) 表示引理，\(\forall v \in \mathcal{D}(\Omega)\), 存在 \(u\in\mit{L^{p}_{\Omega}}\),

    ​ 滿足下列式子: