一階線性微分方程經常在經濟學中遇到,在此進行記錄.
定義
形如以下形式的方程稱為一階線性微分方程。其特點是它關於未知函數y及其一階導數是一次方程。
\[\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \]
齊次形式
對於Q(x)=0的情況,稱為一階齊次線性微分方程,通解為:
\[y = C e^{- \int P(x) dx} \]
其中C為常數，由函數的初始條件決定。
非齊次形式
對於Q(x)$\neq$0的情況,稱為一階費齊次線性微分方程,通解為:
\[y = C e^{- \int P(x) dx} + C e^{- \int P(x) dx} \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx \]
其中C為常數，由函數的初始條件決定。
注意一點,Q(x)和P(x)的正負號容易搞錯.