關於 二階非齊次常系數線性微分方程 特解 的解法
考研期間遇到的一個很強大的解題技巧，但是步驟依然要用待定系數法寫，不然沒有過程分（口口相傳，待考證），不過熟練掌握此方法可以極大的節約答題時間，遂本人講看到的幾份對自己收獲大的資料進行總結整理，本着分享學習精神，寫出以下文章。如有謬誤，望大家不吝賜教。
若並不關心原理證明之類的，則可以直接看性質，或看例題（雖然我這么懶大概率不會往上敲例題）。
希望能給各位帶來幫助，難理解之處我會添加注釋 //
目錄
一、定義
二階非齊次常系數線性微分方程的一般形式如下：
\[\frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=f(x)，(p、q為常數) \]
引入微分算子：
\[\frac{d}{dx}=D，\frac{d^2}{dx^2}=D^2，\cdots，\frac{d^n}{dx^n}=D^n \]
於是有：
\[\frac{dy}{dx}=Dy，\frac{d^2y}{dx^2}=D^2y，\cdots，\frac{d^ny}{dx^n}=D^ny\\ \frac{1}{D^n}=\underbrace{\int\cdots\int}_{共n次} f(x)(dx)^n\\ \frac{1}{D+K}f(x)=\frac{1}{K}(1-\frac{D}{K}+\cdots+(-1)^n\frac{D^n}{K^n}+\cdots)f(x) \]
則(1)式可以簡化為：
\[\begin{align} f(x)&=qy+pDy+D^2y\\ &=(D^2+pD+q)y\\ ::&=F(D)y，稱F(D)為“算子多項式” \end{align} \]
則式（1）的特解\(y^*\)為：
\[y^*=\frac{1}{F(D)}f(x) \]
二、引理若干
這些我才懶得證明，別想了哼 (ˉ▽￣～)
2.1.1 算子多項式性質
設\(f(x)、g(x)\)為可微函數：則有
- \(F(D)[\alpha f(x)+\beta g(x)]=\alpha F(D)f(x)+\beta F(D)g(x)\)
- 設\(F(D)=F_1(D)F_2(D)\)，則有\(F(D)f(x)=F_1(D)[F_2(D)f(x)]=F_2(D)[F_1(D)f(x)]\)
- 設\(F(D)=F_1(D)+F_2(D)\)，則\(F(D)f(x)=F_1(D)f(x)+F_2(D)f(x)\)
2.1.2 算子多項式の公式
設k,a為任意常數，v(x)為二階可導多項式，則
- \(F(D)e^{kx}=e^{kx}F(k)\)
- \(F(D^2)\sin{ax}=\sin{ax}F(-a^2)、F(D^2)\cos{ax}=\cos{ax}F(-a^2)\)
- \(F(D)e^{kx}v(x)=e^{kx}F(D+k)v(x)\)
- \(F(D)xv(x)=xF(D)v(x)+F'(D)v(x)\)
三、一些性質
3.1 逆算子移位原理
\[\frac{1}{F(D)}e^{kx}v(x)=e^{kx}\frac{1}{F(D+k)}v(x) \]
- 若\(F(k)\neq0\)，則：
\[\frac{1}{F(D)}e^{kx}=e^{kx}\frac{1}{F(k)}，此時F(k)已然是數值 \]
- 若\(F(k)=0\)，則說明 k 為\(F(k)=0\) 的 m 重根，則有：
\[\frac{1}{F(D)}e^{kx}=x^m\frac{e^{kx}}{F^{(m)}(k)} \]
3.2 關於三角函數
歐拉公式：
\[e^{r\beta x}=\cos{\beta x}+i\sin{\beta x}\\ \cos{\beta x}=Re[e^{i\beta x}]，稱為實部\\ \sin{\beta x}=Im[e^{i\beta x}]，稱為虛部 \]
- 當\(F(-a^2)\neq0\)時：
\[\frac{1}{F(D^2)}\sin{ax}=\frac{\sin{ax}}{F(-a^2)}\\ \frac{1}{F(D^2)}\cos{ax}=\frac{\cos{ax}}{F(-a^2)}\\ \]
- 當\(F(-a^2)=0\)時：
\[\frac{1}{F(D^2)}\sin{ax}=x\frac{1}{F'(D^2)}\sin{ax}\\ \frac{1}{F(D^2)}\cos{ax}=x\frac{1}{F'(D^2)}\cos{ax}\\ \]
-
\[\frac{1}{F(D^2)}\sin{ax}=Im[\frac{e^{iax}}{F(ia)}]\\ \frac{1}{F(D^2)}\cos{ax}=Re[\frac{e^{iax}}{F(ia)}]\\ \]
3.3 含多項式的情況
設 k 為任意實數，v（x）為二階可導函數，則：
\[\frac{1}{F(D)}P_m(x)=Q_m(D)P_m(x) \]
\[\frac{1}{F(D)}xv(x)=[x-\frac{1}{F(D)}F'(D)]\frac{1}{F(D)}v(x) \]
四、 公式（8）~（16）證明
引理（1）：若\(p(x)\)為多項式，\(v(x)\)為任意函數，那么有：
\[p(D)e^{\lambda x}v(x)=e^{\lambda x}p(D+\lambda)v(x) \]
引理（2）：設\(f_p(x)\)為 p 次多項式，即\(f_p(x)=a_0x^p+a_1x^{p-1}+\cdots+a_p\)，那么：
\[\frac{1}{\prod_{i=1}^m(D+K)}f_p(x) \]
仍為 p 次多項式。
\[\begin{align} &\because\frac{1}{D+K_1}f(x)=\frac{1}{K_1}(\frac{1}{1+\frac{D}{K_1}})f_p(x)=\frac{1}{K_1}(1-\frac{D}{K_1}+\cdots+(-1)^n\frac{D^n}{K_1^n}+\cdots)f_p(x)\\ &\because D^{n+1}f_p(x)=0,\\ &\therefore \frac{1}{D+K_1}f(x)=\frac{1}{K_1}(1-\frac{D}{K_1}+\cdots+(-1)^n\frac{D^n}{K_1^n})f_p(x)\\ &\therefore\frac{1}{\prod_{i=1}^m(D+K_i)}f_p(x)=[\frac{1}{D+k_m}[\cdots[\frac{1}{D+K_1}f_p(x)]]]，仍為p次多項式 \end{align} \]
五、 一些例子
- \(\frac{d^2y}{dx^2}+y=x\cos{2x}，F(D)=1+D^2\)
\[\begin{align} 特解：y^*&=\frac{1}{1+D^2}x\cos{2x}\\ &=Re[\frac{1}{1+D^2}xe^{2ix}]\\ &=Re[e^{2ix}\frac{1}{1+(D+2i)^2}x]，移位原理\\ &=Re[e^{2ix}\frac{1}{D^2+4iD-3}x]，（*）這一步我會貼圖\\ &=Re[e^{2ix}(-\frac{1}{3}-\frac49iD)x]\\ &=Re[(\cos{2x}+i\sin{2x})(-\frac{1}{3}x-\frac49i)],D::=\frac{dy}{dx}\\ &=\frac{1}{3}x\cos{2x}+\frac{4}{9}\sin{2x} \end{align} \]
六、引用
- [1] 《常微分方程》王高雄、高等教育出版社“高階微分方程中的拉普拉斯變換方法”
- [2 ] “"二階常系數線性微分方程特解的微分算子法" 李紹剛、徐安農”桂林電子科技大學學報“