這節課涉及到怎么求解微分方程，怎么求解一階常系數微分方程。上一節課是離散情況，這節課我們計算連續情況。
微分方程組的解
從例子講起
已知兩個微分方程
\[\frac{\text{du}_1}{\text{dt}}=-u_1+2 u_2\\ \frac{\text{du}_2}{\text{dt}}=u_1-2 u_2 \]
已知 \(U(t)=\left( \begin{array}{c} u_1(t) \\ u_2(t) \\ \end{array} \right)\)，\(U_0=\left( \begin{array}{c} u_1(0) \\ u_2(0) \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)\)
根據兩個方程等式右邊寫出系數矩陣：
\[A=\left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 1 & -2 \\ \end{array} \right) \]
很明顯，矩陣 \(A\) 的行列式為0，所以她是個奇異矩陣。
計算特征方程
\[det(A-\lambda I)=0 \]
可得
\[\lambda_1=0，\lambda_2=-3 \]
將兩個特征值分別代入
\[(A-\lambda I)x=0 \]
可得
\[x_1=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right)，x_2=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ \end{array} \right) \]
微分方程的解為
\[U(t)=c_1 e^{\lambda _1 t}x_1+c_2 e^{\lambda _2 t}x_2 \]
\(e^{\lambda _1 t}x_1\) 和 \(e^{\lambda _2 t}x_2\) 是方程組的兩個特解。
兩個解的純指數形式是上次講的純冪形式在微分方程中的類似體。
在差分方程中 \(u_{k+1}=Au_k\), 有
\[u_k=c_1\lambda_1^k x_1+c_2\lambda_2^k x_2+...+c_n\lambda_n^k x_n \]
這里我們關心的是指數形式。
計算 \(c_1、c_2\) ，將 \(\lambda\) 和 \(x\) 代入，可得
\[U(t)=c_2 e^{-3 t}.\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ \end{array} \right)+c_1.\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right) \]
已知初值 \(U_0\) ,可得
\[c_1=c_2=\frac{1}{3} \]
故，最后得到通解：
\[U(t)=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right)+\frac{1}{3} e^{-3 t} \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ \end{array} \right) \]
當 \(t \rightarrow ∞，\frac{1}{3} e^{-3 t} \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ \end{array} \right) \rightarrow 0\) ，\(U(t)\) 是穩定狀態
\[U(∞) \rightarrow \frac{1}{3} \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right) \]
收斂性
什么時候微分方程的解才能到達穩態？
- 當\(\lambda\) 實部小於零，即 $ Re (\lambda)<0 $ \(e^{\lambda t} \rightarrow 0\) ， \(U(t) \rightarrow 0\) ，\(U(t)\) 具有穩定性。
如果特征值是復數，假如 \(\lambda=-3+6i\) .
\[|e^{(-3+6 i) t}|=e^{-3 t} \]
取模后只有實部作用，因為根據歐拉公式
\[|e^{6it}|=cos(6t)+isin(6t)=1 \]
她在單位圓內旋轉。
所以只有實數部分是起作 用的。
- 當 \(\lambda_1=0\) ,並且其余的 \(Re\lambda<0\) ，\(U(t)\) 處於穩定狀態。
- 當任意 \(Re\lambda>0\) 時，解無法收斂。
以 \(2*2\) 矩陣為例
已知微分方程組中系數矩陣
\[A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right) \]
對於穩定性，我們要知道她的兩個特征值實部是否都是小於零。
\[Re \lambda_1<0,Re \lambda_2<0, \]
問題是，不計算，是否可以直接從矩陣判斷呢？
\(A\) 的跡是 \(a+d\) ,如果兩個特征值都小於零，則
\[a+d<0 \]
並且滿足
\[detA>0 \]
從這兩個條件就能看出是否穩定。
她是簡便而且實用的，因為二階系統穩定性是我們最關心的，在實際中遇到的最多。
解耦（對角化）
原方程組有兩個相互耦合的未知函數，矩陣 \(A\) 也表明 \(u_1、u_2\) 互相耦合。
特征值和特征向量的作用是解耦，又稱為對角化，我們可以把方程的解表示為 \(S\) 和 \(\Lambda\) 的形式。
回到原來的微分方程組，矩陣 \(A\) 的對角元素都不等於零
\[\frac{\text{du}}{\text{dt}}=\text{Au} \]
通過特征向量矩陣 \(S\) 解耦 \(u\) 。令
\[u=Sv \]
把 \(u\) 表示為特征向量（基）的線性組合。
將 \(u\) 代入方程中，\(S\) 是常數陣，可以提取出來，得
\[S\frac{\text{dv}}{\text{dt}}=\text{ASv} \]
兩邊乘以 \(S^{-1}\)
\[S^{-1}S\frac{\text{dv}}{\text{dt}}=S^{-1}\text{ASv} \]
化簡
\[\frac{\text{dv}}{\text{dt}}=\Lambda \text{v} \]
\(\Lambda\) 為特征值矩陣。這里得到關於 \(v\) 得對角化方程組。
新方程組不存在耦合，\(\frac{dv_1}{\text{dt}}=\Lambda v_1，\frac{dv_2}{\text{dt}}=\Lambda v_2\) ......這是各未知數之間沒有聯系得方程組。
她們的解是
\[v(t)=e^{\Lambda t} v(0)\\ u(t)=Se^{\Lambda t}S^{-1} u(0)=e^{A t}u(0) \]
其中，\(e^{A t}\) 稱為矩陣指數。
矩陣指數
回顧泰勒展開式的兩個公式
\[e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{x^n}{n!}\\ \frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty } x^n \]
第二個式子被稱為幾何級數。
這些公式對矩陣同樣適用，就像普通的函數一樣，類似的，有
\[e^{A t}=I+At+\frac{\text{(At)}^2}{2}+\frac{\text{(At)}^3}{6}+...++\frac{\text{(At)}^n}{n!}\\ (I-At)^{-1}=I+At+(At)^2+(At)^3+...+(At)^n \]
第一個式子就是 \(e^{A t}\) 的定義式子。
通過展開式，我們可以看出 \(e^{A t}\) 每一項分母越來越大，因此無論 \(A、t\) 是多少，她的通項總是收斂於0，級數最終最終收斂於某值。
但 \((I-At)^{-1}\) 不一定是收斂的。假如 \(A\) 的 \(\lambda>0\) ,則 \(A^n\) ，\(\lambda^n\) 。 級數不收斂。只有 \(\lambda<0\) ,級數收斂，根據要求可以讓級數約等於前面幾項。
證明
證明 \(Se^{\Lambda t}S^{-1} =e^{A t}\)
\[\begin{align} e^{A t}&=I+At+\frac{\text{(At)}^2}{2}+\frac{\text{(At)}^3}{6}+...++\frac{\text{(At)}^n}{n!}\\ &=SS^{-1}+S\Lambda S^{-1} t+\frac{S\Lambda^2 S^{-1}}{6}t^2+...++\frac{S\Lambda^n S^{-1}}{n!}t^n\\ &=Se^{\Lambda t} S^{-1} \end{align} \]
前提條件是有 \(n\) 個特征向量，\(S\) 可逆，矩陣 \(A\) 才能對角化。
其中
\[\Lambda =\left( \begin{array}{cccc} \lambda _1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda _2 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & \lambda _n \\ \end{array} \right) \]
矩陣指數 \(e^{\Lambda t}\) 表達式為
\[e^{\Lambda t} =\left( \begin{array}{cccc} e^{\lambda_1 t} & 0 & ... & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2 t} & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & e^{\lambda_n t} \\ \end{array} \right) \]
全部特征值小於0時，\(e^{\Lambda t}\) 的對角線上全部元素收斂於0。
我們可以在復平面上表示出來：
- 全部特征值小於0情況，就是當特征值位於左半平面時，可以使得微分方程存在穩定的解。
- 當特征值絕對值 \(|\lambda|<1\) 時，即在單位元內，矩陣的冪收斂於0
高階微分方程的求解
如何求解 \(y''+by'+ky=0\) ?
想象斐波那契數列的思路
令
\[u=\left( \begin{array}{c} y' \\ y \\ \end{array} \right) \]
增加一個方程
\[y'=y' \]
把向量 \(u\) 作為方程的未知數，原方程化為 \(u\) 的一階微分方程。
\[\begin{align} u’&=\left( \begin{array}{c} y'' \\ y' \\ \end{array} \right)\\ &=Au\\ &=\left( \begin{array}{cc} -b & -k \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right).\left( \begin{array}{c} y' \\ y \\ \end{array} \right) \end{align} \]
一個二階微分方程變換為一個一階方程，可以得到一個 \(2*2\) 矩陣 \(A\).
類似的，對於一個5階微分方程，可以得到一個 \(5*5\) 矩陣，這個方程使得5階轉換為一階，然后我們就可以計算特征值和特征向量。
