[高等數學]高數整理：常見等價無窮小、導數和微分、微分方程

一、常見等價無窮小

當 \(x\rightarrow0\) 時，

\(\sin x \sim x\)

\(\tan x\sim x\)

\(\arcsin x \sim x\)

\(\arctan x \sim x\)

\(e^x-1 \sim x\), \(a^x-1 \sim x \ln a\)

\(\ln (1+x) \sim x\), \(\displaystyle\ log_{a}(1+x) \sim \frac{x}{\ln a}\)

\(\displaystyle \ln(x+\sqrt{1+x^2}) \sim x\)

\(\displaystyle (1+x)^\alpha -1 \sim \alpha x\)

\(\displaystyle \displaystyle 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2\)

\(\displaystyle \tan x-x \sim \frac{1}{3}x^3\)

\(\displaystyle x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^3\)

\(\displaystyle \tan x - \sin x \sim \frac{1}{2}x^3\)

\(\displaystyle \arcsin x - x \sim \frac{1}{6}x^3\)

\(\displaystyle x - \arctan x \sim \frac{1}{3}x^3\)

當 \(x \rightarrow \infin\) 時，

\(\large \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \infin}(1+ \frac{1}{x})^x=e\)， 括號內的一項趨向 0 。

二、導數 / 微分

1. 利用導數的定義：

   \(\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)

   \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)

2. 常見函數的導數

函數	導數
\(\sin x\)	\(\displaystyle \cfrac{\text{d}(\sin x)}{\text{d}x}=\cos x\)
\(\cos x\)	\(\dfrac{\text{d}(\cos x)}{\text{d}x}=-\sin x\)
\(\tan x\)	\(\dfrac{\text{d}(\tan x)}{\text{d}x}=\sec^2x\)
\(\cot x\)	\(\dfrac{\text{d}(\cot x)}{\text{d}x}=-\csc^2 x\)
\(\sec x\)	\(\dfrac{\text{d}(\sec x)}{\text{d}x}=\sec x\tan x\)
\(\csc x\)	\(\dfrac{\text{d}(\csc x)}{\text{d}x}=-\csc x \cot x\)
\(\arcsin x\)	\(\displaystyle \frac{\text{d}(\arcsin x)}{\text{d}x} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arccos x\)	\(\displaystyle \dfrac{\text{d}(\arccos x)}{\text{d}x}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arctan x\)	\(\dfrac{\text{d}(\arctan x)}{\text{d}x} = \dfrac{1}{1+x^2}\)
\(\text{arccot}\space x\)	\(\dfrac{\text{d}(\text{arccot}\space x)}{\text{d}x} = - \dfrac{1}{1+x^2}\)

3. 雙曲函數 和 反雙曲函數

   	函數名	表達式
   	雙曲正弦 \(\operatorname{sh}x\)	\(\operatorname{sh} x = \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\)
   	雙曲余弦 \(\operatorname{ch}x\)	\(\operatorname{ch} x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\)
   	雙曲正切 \(\operatorname{th}x\)	\(\operatorname{th} x = \dfrac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)
   	反雙曲正弦 \(\operatorname{arcsh}x\)	\(\displaystyle \operatorname{arcsh}x = \ln(x+\sqrt{x^2+1})\)
   1	反雙曲余弦 \(\operatorname{arcch}x\)	\(\operatorname{arcch}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})\)
   	反雙曲正切 \(\operatorname{arcth}x\)	\(\displaystyle \operatorname{arcth}x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}\)

三、微分方程

1. 可分離變量的微分方程 \([\mathbf{形如}： \displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(x)]\)

   ① 分離變量后，兩端積分。

   [② 根據定解條件確定常數]

2. 齊次方程 \([\mathbf{形如}：\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=φ(\frac{y}{x})]\)，

   看 \(x、y\) 次數的系數是否對稱。

   ① 令 \(u = \dfrac{y}{x}\)， 則 \(y = ux\)， \(\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = u + x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}\)。

   ② 代入方程，分離變量 \(x\) 和 $u $后，兩端積分。

   ③ 用 \(\dfrac{y}{x}\)代替 \(u\) 。

   [④ 根據定解條件確定常數]

3. 一階線性微分方程 \([\mathbf{形如：} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)\cdot y=Q(x)]\)

   (1) 當 \(Q(x)=0\) 時，方程為『齊次』。 （對應於 非齊次線性方程 的齊次線性方程 ）

   ​ 齊次線性方程的通解：\(\displaystyle y = Ce^{-\int P(x)\text{d}x}\)

   (2) 當 \(Q(x)\not\equiv0\) 時，方程為『非齊次』。 （非齊次線性方程）

   ​ 非齊次線性方程的通解：\(\displaystyle y = e^{-\int P(x)\text{d}x}(\int Q(x)\cdot e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x+C)\)

   ​ 展開式：\(\displaystyle y = Ce^{-\int P(x)\text{d}x} + e^{-\int P(x)\text{d}x}\int Q(x) \cdot e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x\)

4. 伯努利方程 \([\mathbf{形如}：\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)\cdot y= Q(x)\cdot y^n,\space(n\not=0,1)]\)

   ① 兩端同除以 \(y^n\)

   ② 設 \(z = y^{1-n}\)，則 \(\displaystyle \frac{\text{d}z}{\text{d}x}=(1-n)y^{-n}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\)

   ​ 代入，得 \(\dfrac{1}{1-n}\cdot \dfrac{\text{d}z}{\text{d}x} + P(x)z=Q(x)\)

   ​ \(\dfrac{\text{d}z}{\text{d}x}+(1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)\)

   ③先求 \(z\)，再求 \(y\)。

5. 可降階的高階微分方程

   (1) \([\mathbf{形如}：y^{(n)}=f(x)]\)

   ​ 兩端積分，得 \(\displaystyle y^{(n-1)}=\int f(x)\text{d}x+C_1\)

   ​ 一直積分到 得到通解 時。

   (2) \([\mathbf{形如}：y''= f(x,y')]\)，沒有 y

   ​ 設 \(p = y'\)，則 \(y''=p'\)，

   ​ 代入，得到 \(p'\) 關於 \(p\) 和 \(x\) 的方程 \(p'=f(x,p)\)

   (3) \([\mathbf{形如}：y''=f(y,y')]\)，沒有 x

   ​ 設 \(p = y'\)，則 \(\displaystyle y'' = \frac{\text{d}p}{\text{d}x}=\frac{\text{d}p\space \cdot \space \text{d}y}{\text{d}x\space \cdot \space \text{d}y}=p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}\)

   ​ 代入，得到 \(p\dfrac{\text{d}p}{\text{d}y} = f(y,p)\)

   ​ 分離變量求解，之后把 \(p = y'\) 代入，

   ​ [根據已知條件求出常數之一，繼續分離變量求解。根據已知，求出第二個常數]

線性相關 與 線性無關

• 定義：對於定義在區間 \(I\) 上的 n 個函數，如果下式成立則線性相關，否則無關。

\[k_1 y_1+k_2 y_2 + \cdots + k_n y_n \equiv 0, (\forall x \in I )\space(k_1,k_2,\cdots,k_n不全為\space0) \]

二階微分方程：判斷方程是否為線性的方法

​ 若 \(y_1(x),y_2(x)\) 線性無關 \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{y_1(x)}{y_2(x)} \not\equiv\) 常數。

6. 高階線性微分方程

• 二階

  \[\displaystyle [\mathbf{形如：} \frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + P(x)\frac{\text{d}y}{\text{d}x} +Q(x)y=f(x)]\tag{6-1} \]

  ① 齊次：\(f(x) \equiv 0\)，設 \((6-2)\) 是 \((6-1)\) 對應的齊次方程。

  • 性質：齊次方程的任意兩個解相加（或乘 \(C\) ）的結果仍是該齊次方程的解。
  • 定理 1 ：如果函數 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是方程 \((6-2)\) 的兩個解，那么 函數 \(y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)\)，也是方程 \((6-2)\) 的解。
    • 注意：函數 \(y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)\) 不一定是方程 \((6-2)\) 的通解。
  • 定理 2 ：如果 函數 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是 線性無關 的特解，則函數 \(y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)\) 是方程 \((6-2)\) 的通解

  ② 非齊次：\(f(x) \not\equiv 0\)

• n 階

  \[\displaystyle [\mathbf{形如：} y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots + a_{n-1}(x)y'+a_n y= f(x)]\tag{6-n-1} \]

  ① 齊次：

  如果 函數 \(y_1(x),y_2(x),\cdots, y_n(x)\) 是 線性無關 的特解，則函數方程 \((6-n-1)\) 的通解為：

  \(y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)+\cdots+C_n y_n(x)\)