Part VII 微分方程
微分方程的概念
- \(F(x,y,{y}',{y}'',...,{y}^{(n)})=0\)
- 階數一方程中y的最高階導數的階數
\(如：ysinx-{y}''=cosx+2就是二階微分方程，\begin{cases} n=1,一階\\ n\geq2,高階 \end{cases}\) - 通解 --- 解中所含獨立常數的個數=方程的階數
一階微分方程求解-變量可分離型
\(形如\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=f(x,y)=g(x)h(y)\Rightarrow\frac{\text{dy}}{\text{h(y)}}=g(x)dx\Rightarrow\int\frac{\text{dy}}{\text{h(y)}}=\int g(x)dx\)
一階微分方程求解-齊次型
\(形如\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=f(\frac{y}{x})\Rightarrow y=ux \Rightarrow {y}'={u}'x+u \Rightarrow {u}'x+u=f(u) \Rightarrow \frac{\text{du}}{\text{dx}}x=f(u)-u \Rightarrow \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}\Rightarrow \int\frac{du}{f(u)-u}=\int\frac{dx}{x}\)
一階微分方程求解-一階線性型
\(形如:{y}'+p(x)y=q(x), p(x),q(x)為已知函數 \Rightarrow y=e^{-\int p(x)dx}(\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C\)
二階常系數齊次D.E.求解：\(y''+py'+qy=0\) p,q為常數
- \(寫\lambda^2 + p\lambda+q=0 \Rightarrow \triangle=p^2-4q\)
- \(\begin{cases} \triangle>0 \Rightarrow \lambda_1\neq\lambda_2 \Rightarrow y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x} \\ \triangle=0 \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda \Rightarrow y(C_1+C_2x)e^{kx} \\ \triangle<0 \Rightarrow \lambda_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{4q-p^2}i}{2}=\alpha\pm\beta i\Rightarrow y=e^{\alpha x}(C_1cos{\beta x})+C_2sin{\beta x}) \end{cases}\)
二階常系數非齊D.E.求解：\(y''+py'+qy=f(x)\)
- \(f(x) = P_n(x) e^{kx}\)型
- 解法
- 解的結構：\(y_{通解}=y_{齊次通解}+y_{非齊次特解}^*\)
- 求齊次通解：按照前面的方法求出
- 求特解：
- 設\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)（其中\(Q_n(x)\)由\(P_n(x)\)得到）
- 由k與特征方程的根的情況決定是否要在\(y^*\)后面乘上x或\(x^2\)
- \(\lambda _1 \neq k, \lambda_2 \neq k\)：設\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)
- \(\lambda _1 = k, \lambda_2 \neq k\)：設\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\times x\)（多乘一個x）
- \(\lambda _1 = \lambda_2 = k\)：設\(y^* = e^{kx} Q_n(x) \times x^2\)（多乘兩個x）
- 求出\(y'^*,\ y''^*\)，帶入原方程，化簡，解出待定系數a，b
- 將a，b帶入\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)，即得特解
- 組合：最后結果為 齊次通解+特解
- 解法