高數——微分方程的通解和特解 - 碼上快樂

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高數——微分方程的通解和特解

本文轉載自查看原文 2020-02-01 20:03 40234

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微分方程中通解與特解的定義：

y''+py'+qy=0，等式右邊為零，為二階常系數齊次線性方程；

y''+py'+qy=f（x），等式右邊為一個函數式，為二階常系數非齊次線性方程。

可見，后一個方程可以看為前一個方程添加了一個約束條件。

對於第一個微分方程，目標為求出y的表達式。由此得到的解，稱為【通解】，通解代表着這是解的集合。

因為M個變量，需要M個個約束條件才能全部解出。由此，在變量相同的條件下，多一個約束條件f（y），就可以多確定一個解，此解就稱為【特解】。

求微分方程通解的方法：

方程
$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\$ 叫做 一階線性微分方程，因為它對於未知函數 $y$ 及其導數是一次方程. 如果 $Q(x)\equiv0$ ，則方程（1）稱為 齊次的；如果 $Q(x)\not\equiv0$ ，則方程（1）稱為 非齊次的.

為了求出非齊次線性方程（1）的解，我們先把 $Q(x)$ 換成零而寫成方程

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0\ \ \ \ \ \ \ \ (2). \\$

方程（2）叫做對應於非齊次線性方程（1）的齊次線性方程.

齊次方程（2）分離變量后，得

$\frac{dy}{y}=-P(x)dx, \\$

兩端積分，得

$\ln|y|=-\int P(x)dx+C_1, \\$

或

$y=Ce^{-\int P(x)dx},~~\text{其中}C=\pm e^{C_1}. \\$

這便是對應的齊次線性方程（2）的通解.

常數變易法：把（2）的通解中的 $C$ 換成 $x$ 的未知函數 $u(x)$ ，作變換

$y=ue^{-\int P(x)dx}\ \ \ \ \ \ \ \ (3). \\$

於是

$\frac{dy}{dx}=u'e^{-\int P(x)dx}-uP(x)e^{-\int P(x)dx}\ \ \ \ \ \ \ \ (4). \\$

將（3）和（4）代入方程（1），得

$u'e^{-\int P(x)dx}-uP(x)e^{-\int P(x)dx}+P(x)ue^{-\int P(x)dx}=Q(x), \\$

等號左邊中間兩項抵消掉，得

$u'e^{-\int P(x)dx}=Q(x),u'=Q(x)e^{\int P(x)dx}. \\$

兩端積分，得

$u=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C. \\$

把上式代入（3），便得非齊次線性方程（1）的通解

$y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)\ \ \ \ \ \ \ \ (5). \\$

將（5）式改寫成兩項之和

$y=Ce^{-\int P(x)dx}+e^{-\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx. \\$

第一項是對應的齊次線性方程（2）的通解，
第二項是非齊次線性方程（1）的一個特解（在通解（5）中取 $C=0$ 便得到這個特解）.

一階非齊次線性方程的通解等於對應的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和.

求方程

$\frac{dy}{dx}-\frac{2y}{x+1}=(x+1)^{\frac{5}{2}} \\$

的通解.

先用分離變量法求對應的齊次方程

$\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x+1}y=0, \\$

的通解.

$\frac{dy}{y}=\frac{2dx}{x+1}, \\$

兩邊求不定積分，得

$\ln|y|=2\ln|x+1|+\ln|C_1|, \\$

也即

$y=C_1(x+1)^2. \\$

用常數變易法，把 $C_1$ 換成 $u$ ，即令

$y=u(x+1)^2\ \ \ \ \ \ \ \ (6), \\$

則

$\frac{dy}{dx}=u'(x+1)^2+2u(x+1). \\$

代入所給非齊次方程，得

$u'=(x+1)^{\frac{1}{2}}. \\$

兩端積分，得

$u=\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C. \\$

再把上式代入(6)式，即得所求方程的通解為

$y=(x+1)^2[\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C]. \\$

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