高數下期中復習day1——微分方程

第七章——微分方程

5.20居然有期中考，整理下筆記。

基本概念

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• 微分方程：含有未知導數或微分的方程。
• 階：微分方程中未知函數最高階導數的階數。
• 初值條件；初值問題；
• 特解；通解（通解特性：含任意常數的個數與方程階數相同）

常見方程類型

課本上介紹了以下幾類方程：

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一、可分離變量的微分方程

特征：可以將方程變換為一端只含有x的函數與dx，另一端只含有y的函數與dy的方程

二、齊次方程

特征：可化為 \(dy \over dx\)= \(\phi\)(\(y \over x\))的一階微分方程

三、一階線性微分方程

特征：形如： \(dy \over dx\)\(+ P(x)y=Q(x)\)的微分方程

四、可降階高階的微分方程

1. \(y^{(n)}=f(x)\) 型的微分方程
2. \(y''=f(x,y')\) 型的微分方程
3. \(y''=f(y,y')\) 型的微分方程

五、高階線性微分方程

如二階：\(y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)\)

六、常系數齊次線性微分方程

\(y''+py'+qy=0\)

七、常系數非齊次線性微分方程

求解技巧

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分離變量積分

將方程寫成一端只含有x的函數與dx，另一端只含有y的函數與dy的形式；兩端分別積分后化簡。

齊次方程化可分離變量

將一階微分方程化作 \(dy \over dx\)= \(\phi\)(\(y \over x\)) 形式，則可設\(u=\)\(y \over x\) \(,y=ux\) 則 \(dy \over dx\)\(=u+x\)\(du \over dx\) ,代入方程得：\(u+x\)\(du \over dx\)\(=\phi(u)\),再分離變量得：

\(du \over \phi(u)-u\)\(=\)\(dx \over x\) !
遂兩端求積分，再將\(u=\)\(y \over x\)代回方程，化簡得到通解。

一階線性微分方程常數變易法

（mathjax寫公式太累了，直接上手寫照片。）

得到公式 \(y=e^{- \int P(x)dx}\cdot(\int Q(x) e^{\int P(x)dx}dx+C)\) 。雖然容易推導，可是人生這么短，還是直接套吧。

y的導數不只最高階時的降階法

二階方程主要思想：通過換元將方程轉化為一階且依然只有兩個變量的方程，用一階方法繼續求解。

• 方程不顯含y “\(f(x,y',y'')=0\)”型：設\(y'=p\)，則\(\frac{dp}{dx}=y''\),分別代入后得以轉化為一階方程\(f(x,p,\frac{dp}{dx})=0\)
• 方程不顯含x “\(f(y,y',y'')=0\)”型：同樣設\(y'=p ,y''=\frac{dp}{dx}\). 不過此時將p關於x導數做進一步轉化：\(y''=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p \cdot \frac{dp}{dy}\)，分別代入后轉化為\(f(y,p,p\cdot\frac{dp}{dy})=0\)

巧用導數加法

即便是簡單的導數加法法則，也因其所蘊含着的線性關系，在高階線性微分方程中產生奇效……
對於一個二階線性微分方程：\(y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)\)，當自由項\(f(x)\equiv 0\)有對應的齊次方程\(y''+P(x)y''+Q(x)y=0\).

1. 若齊次方程有\(y=y_1(x),y=y_2(x)\)兩特解，分別代入方程后將兩式分別乘上任意常數\(C_1,C_2\)分別疊加，有\((C_1y_1''+C_2y_2'')+P(x)(C_1y_1'+C_2y_2')+Q(x)(C_1y_1+C_2y_2)=0\)，於是由導數常數和加法運算法則得：\((C_1y_1+C_2y_2)''+P(x)(C_1y_1+C_2y_2)'+Q(x)(C_1y_1+C_2y_2)=0\)，
   故 \(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\) 也是齊次方程的解，

更高階亦能推出此性質，稱之“齊次線性方程解的疊加原理”。如果\(y_1(x),y_2(x)\)線性無關，則 \(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\)就是含兩任意常數（不可合並）的解——通解。

2. 設 \(y*(x)\)是二階非齊次線性方程的一個特解，\(Y(x)\)是與該方程對應的齊次方程的通解，於是可分別代入對應方程后疊加得：\((y*''+Y'')+P(x)(y*'+Y')+Q(x)(y*+Y)=f(x)\)，再次用導數加法法則得到：\((y*+Y)''+P(x)(y*+Y)'+Q(x)(y*+Y)=f(x)\)
   於是\(y=y*(x)+Y(x)\)就是二階非齊次線性微分方程的通解.

3. 設\(y_1(x),y_2(x)\)分別是\(y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x))\)和\(y''+P(x)y'+Q(x)y=f_2(x)\)的特解，那末將兩式疊加也同理可得：\(y=y_1(x)+y_2(x)\) 是方程 \(y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x)\)的特解

4. 同樣地也能推出非齊次兩特解之差為齊次方程特解之類的定理。以上定理更像是例子，但在解線性方程的時候很有用。

特征方程法求解常系數線性微分方程

對\(y=e^{rx}\)求n階導，\(e^{rx}\)始終存在，不如代入常系數齊次線性方程，約去\(e^{rx}\)，則方程轉化為諸如 \(r^2+pr+q=0\) 的“特征方程”。設法在各種情形解出滿足方程的多個r，從而得到齊次方程多個線性無關的特解（ \(e^{rx}\) ），就能表示出通解了。

好累啊，把推導過程打出來就不用復習了。直接記公式：

\(\Delta>0\)	\(r_1\neq r_2\)	\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)
\(\Delta=0\)	\(r_1=r_2=r\)	\(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\)
\(\Delta<0\)	\(r= \alpha\pm\beta i\)	\(y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)\)

非齊次：同樣根據解的結構求出 Y 和 y，求 Y 代上面公式，下面給個第一類求 y 公式 （打着字復習太累了我后悔了）：
第一類：\(f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}\)
設特解：\(y*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}\) ，（\(Q_m(x)\)是m次多項式）

\[k= \begin{cases} 0& \text{當 $\lambda$ 不是是特征根}\\ 1& \text{當 $\lambda$ 是特征單根}\\ 2& \text{當 $\lambda$ 是特征重根} \end{cases}\]

代回原方程求解…

先溜了。