高数下期中复习day1——微分方程

第七章——微分方程

5.20居然有期中考，整理下笔记。

基本概念

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• 微分方程：含有未知导数或微分的方程。
• 阶：微分方程中未知函数最高阶导数的阶数。
• 初值条件；初值问题；
• 特解；通解（通解特性：含任意常数的个数与方程阶数相同）

常见方程类型

课本上介绍了以下几类方程：

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一、可分离变量的微分方程

特征：可以将方程变换为一端只含有x的函数与dx，另一端只含有y的函数与dy的方程

二、齐次方程

特征：可化为 \(dy \over dx\)= \(\phi\)(\(y \over x\))的一阶微分方程

三、一阶线性微分方程

特征：形如： \(dy \over dx\)\(+ P(x)y=Q(x)\)的微分方程

四、可降阶高阶的微分方程

1. \(y^{(n)}=f(x)\) 型的微分方程
2. \(y''=f(x,y')\) 型的微分方程
3. \(y''=f(y,y')\) 型的微分方程

五、高阶线性微分方程

如二阶：\(y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)\)

六、常系数齐次线性微分方程

\(y''+py'+qy=0\)

七、常系数非齐次线性微分方程

求解技巧

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分离变量积分

将方程写成一端只含有x的函数与dx，另一端只含有y的函数与dy的形式；两端分别积分后化简。

齐次方程化可分离变量

将一阶微分方程化作 \(dy \over dx\)= \(\phi\)(\(y \over x\)) 形式，则可设\(u=\)\(y \over x\) \(,y=ux\) 则 \(dy \over dx\)\(=u+x\)\(du \over dx\) ,代入方程得：\(u+x\)\(du \over dx\)\(=\phi(u)\),再分离变量得：

\(du \over \phi(u)-u\)\(=\)\(dx \over x\) !
遂两端求积分，再将\(u=\)\(y \over x\)代回方程，化简得到通解。

一阶线性微分方程常数变易法

（mathjax写公式太累了，直接上手写照片。）

得到公式 \(y=e^{- \int P(x)dx}\cdot(\int Q(x) e^{\int P(x)dx}dx+C)\) 。虽然容易推导，可是人生这么短，还是直接套吧。

y的导数不只最高阶时的降阶法

二阶方程主要思想：通过换元将方程转化为一阶且依然只有两个变量的方程，用一阶方法继续求解。

• 方程不显含y “\(f(x,y',y'')=0\)”型：设\(y'=p\)，则\(\frac{dp}{dx}=y''\),分别代入后得以转化为一阶方程\(f(x,p,\frac{dp}{dx})=0\)
• 方程不显含x “\(f(y,y',y'')=0\)”型：同样设\(y'=p ,y''=\frac{dp}{dx}\). 不过此时将p关于x导数做进一步转化：\(y''=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p \cdot \frac{dp}{dy}\)，分别代入后转化为\(f(y,p,p\cdot\frac{dp}{dy})=0\)

巧用导数加法

即便是简单的导数加法法则，也因其所蕴含着的线性关系，在高阶线性微分方程中产生奇效……
对于一个二阶线性微分方程：\(y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)\)，当自由项\(f(x)\equiv 0\)有对应的齐次方程\(y''+P(x)y''+Q(x)y=0\).

1. 若齐次方程有\(y=y_1(x),y=y_2(x)\)两特解，分别代入方程后将两式分别乘上任意常数\(C_1,C_2\)分别叠加，有\((C_1y_1''+C_2y_2'')+P(x)(C_1y_1'+C_2y_2')+Q(x)(C_1y_1+C_2y_2)=0\)，于是由导数常数和加法运算法则得：\((C_1y_1+C_2y_2)''+P(x)(C_1y_1+C_2y_2)'+Q(x)(C_1y_1+C_2y_2)=0\)，
   故 \(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\) 也是齐次方程的解，

更高阶亦能推出此性质，称之“齐次线性方程解的叠加原理”。如果\(y_1(x),y_2(x)\)线性无关，则 \(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\)就是含两任意常数（不可合并）的解——通解。

2. 设 \(y*(x)\)是二阶非齐次线性方程的一个特解，\(Y(x)\)是与该方程对应的齐次方程的通解，于是可分别代入对应方程后叠加得：\((y*''+Y'')+P(x)(y*'+Y')+Q(x)(y*+Y)=f(x)\)，再次用导数加法法则得到：\((y*+Y)''+P(x)(y*+Y)'+Q(x)(y*+Y)=f(x)\)
   于是\(y=y*(x)+Y(x)\)就是二阶非齐次线性微分方程的通解.

3. 设\(y_1(x),y_2(x)\)分别是\(y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x))\)和\(y''+P(x)y'+Q(x)y=f_2(x)\)的特解，那末将两式叠加也同理可得：\(y=y_1(x)+y_2(x)\) 是方程 \(y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x)\)的特解

4. 同样地也能推出非齐次两特解之差为齐次方程特解之类的定理。以上定理更像是例子，但在解线性方程的时候很有用。

特征方程法求解常系数线性微分方程

对\(y=e^{rx}\)求n阶导，\(e^{rx}\)始终存在，不如代入常系数齐次线性方程，约去\(e^{rx}\)，则方程转化为诸如 \(r^2+pr+q=0\) 的“特征方程”。设法在各种情形解出满足方程的多个r，从而得到齐次方程多个线性无关的特解（ \(e^{rx}\) ），就能表示出通解了。

好累啊，把推导过程打出来就不用复习了。直接记公式：

\(\Delta>0\)	\(r_1\neq r_2\)	\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)
\(\Delta=0\)	\(r_1=r_2=r\)	\(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\)
\(\Delta<0\)	\(r= \alpha\pm\beta i\)	\(y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)\)

非齐次：同样根据解的结构求出 Y 和 y，求 Y 代上面公式，下面给个第一类求 y 公式 （打着字复习太累了我后悔了）：
第一类：\(f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}\)
设特解：\(y*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}\) ，（\(Q_m(x)\)是m次多项式）

\[k= \begin{cases} 0& \text{当 $\lambda$ 不是是特征根}\\ 1& \text{当 $\lambda$ 是特征单根}\\ 2& \text{当 $\lambda$ 是特征重根} \end{cases}\]

代回原方程求解…

先溜了。