一階線性微分方程求特解（附圖）.
^let
u= (x^3+1)y
du/dx = (x^3+1) dy/dx + 3x^2. y
//
y' +3x^2.y/(x^3+1) = y^2.(x^3+1). sinx
(x^3+1)y' +3x^2.y = y^2.(x^3+1)^2. sinx
du/dx = u^2 .sinx
∫ du/u^2 = ∫ sinx dx
1/u = cosx +C
1/[(x^3+1)y] = cosx +C
y(0) =1
1= 1 +C
=> C=0
1/[(x^3+1)y] = cosx
y= 1/[cosx .(x^3+1)]
微分方程的特解怎么求
一般式是這樣的ay''+by'+cy=f(x)
第一步：求特征根
令ar²+br+c=0，解得r1和r2兩個值，（這里可以是復數，例如(βi)²=-β²）
第二步：通解
1、若r1≠r2，則y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
2、若r1=r2,則y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
3、若r1,2=α±βi,則y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
第三步：特解
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是關於x的多項式，且λ經常為0）
則y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同樣形式的多項式，例如P（x）是x²+2x，則設Q（x）為ax²+bx+c，abc都是待定系數)
1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）
2、若λ是單根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）
3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
1、若α+βi不是特征根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
2、若α+βi是特征根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系數）
第四步：解特解系數
把特解的y*'',y*',y*都解出來帶回原方程，對照系數解出待定系數。
最后結果就是y=通解+特解。
通解的系數C1，C2是任意常數。
拓展資料：
微分方程
微分方程指描述未知函數的導數與自變量之間的關系的方程。微分方程的解是一個符合方程的函數。而在初等數學的代數方程，其解是常數值。
高數常用微分表
唯一性
存在定一微 分程及約束條件，判斷其解是否存在。唯一性是指在上述條件下，是否只存在一個解。針對常微分方程的初值問題，皮亞諾存在性定理可判別解的存在性，柯西-利普希茨定理則可以判別解的存在性及唯一性。針對偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判別解的存在性及唯一性。 皮亞諾存在性定理可以判斷常微分方程初值問題的解是否存在。