最近遇到要求解此類差分方程的問題，查閱了相關資料，進行了完善並記錄下來
求一階常系數齊次線性差分方程的通解
一階常系數齊次線性差分方程的一般形式為 \(y_{n+1}-ay_n=0,(a \neq 0)\)
迭代法
給定初始值為 \(y_0\) ，則 \(y_1=ay_0, y_2=ay_1=a^2y_0, y_3=ay_2=a(a^2y_0)=a^3y_0, \dots , y_n=a^ny_0\)
其中初始值 \(y_0\) 為常數，令 \(y_0=C\) ， 則通解可表示為 \(Y_n=Ca^n\)
當存在某一個 \(y_x\) 已知時，將其代入通解，可以求得 \(C\)
特征根法
將原方程變形 \(y_{n+1}-ay_n=0,(a \neq 0) \iff y_{n+1}-y_n+(1-a)y_n=0 \iff \Delta y_n+(1-a)y_n=0,(a \neq 0)\)
根據 \(\Delta \lambda^n=(\lambda-1)^n\) 可以看出 \(y_n\) 的形式一定為某一指數函數
設 \(y_n=\lambda^n(\lambda \neq 0)\) ，代入原方程得 \(\lambda^{n+1}-a\lambda^n=0\) ，即 \(\lambda-a=0 \iff \lambda=a\)
於是 \(y_n=a^n\) 是原方程的一個解，從而 \(y_n=Ca^n\) 是原方程的通解
舉例
【例1】求 \(y_{n+1}-y_n=0\) 的通解
【解】特征方程為 \(\lambda-1=0\) ，解得特征根為 \(\lambda=1\) ，所以原方程的通解為 \(Y_n=C\)
【例2】求 \(y_{n+1}-2y_n=0\) 的通解
【解】特征方程為 \(\lambda-2=0\) ，解得特征根為 \(\lambda=2\) ，所以原方程的通解為 \(Y_n=C\cdot2^n\)
【例3】已知 \(y_0=1\) ，求 \(y_{n+1}+y_n=0\) 的通解
【解】特征方程為 \(\lambda+1=0\) ，解得特征根為 \(\lambda=-1\) ，所以原方程的通解為 \(Y_n=C(-1)^n\)
將 \(y_0=1\) 代入，得到 \(1=C(-1)^0 \iff C=1\) ，所以原方程的通解為 \(Y_n=(-1)^n\)
求一階常系數非齊次線性差分方程的通解
一階常系數非齊次線性差分方程的一般形式為 \(y_{n+1}-ay_n=f(n),(a \neq 0)\)
當 \(f(n)=0\) 時，方程為 \(y_{n+1}-ay_n=0\) ，稱它為原方程對應的齊次方程
一階常系數非齊次線性差分方程的通解為對應的齊次方程通解 \(Y_n\) 與原方程的特解 \(y^*_n\) 之和，即 \(y_n=Y_n+y^*_n\)
當 \(f(n)\) 為某些特殊類型的函數時，采用待定系數法求其特解 \(y^*_n\) 較為方便
右端函數為m階多項式類型
原方程變形為 \(\Delta y_n+(1-a)y_n=f(n),(a \neq 0)\)
由於 \(f(n)\) 為多項式，因此 \(y^*_n\) 也應該是多項式
當 \(a\neq1\) 時，令 \(y^*_n=\theta_0 n^m+\theta_1 n^{m-1}+\dots+\theta_m\)
當 \(a=1\) 時，令 \(y^*_n=n(\theta_0 n^m+\theta_1 n^{m-1}+\dots+\theta_m)\)
舉例
【例1】求 \(y_{n+1}-y_n=n^2\) 的通解
【解】對應的齊次方程為 \(y_{n+1}-y_n=0\) ，特征方程為 \(\lambda-1=0\) ，特征根為 \(\lambda=1\) ，齊次方程的通解為 \(Y_n=C\)
設原方程的特結為 \(y^*_n=an^3+bn^2+cn\) ，代入原方程得 \(a(n+1)^3+b(n+1)^2+c(n+1)-an^3-bn^2-cn=n^2\)
原方程要恆成立，用待定系數法得到 \(a=\frac{1}{3}, b=\frac{1}{2}, c=\frac{1}{6}\)
所以原方程的通解為 \(y_n=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n+C\)
右端函數為指數函數與m階多項式相乘
設原方程為 \(y_{n+1}-ay_n=\mu^nP_m(n),(a \neq 0)\)
當 \(\mu=0,1\) 時，屬於上面一種情況
當 \(\mu \neq 0,1\) 時，設 \(y_n=\mu^n \cdot z_n\)
代入原方程得 \(\mu^{n+1}z{n+1}-a\mu^nz_n=\mu^nP_m(n)\)
消去 \(\mu^n\) ，得 \(\mu z_{n+1}-az_n=P_m(n)\) ，就成為了上面一種類型，於是 \(y^*_n=\mu^n \cdot z^*_n\)