數學 - 微分方程數值解 - 第 1 章 一階常微分方程初值問題 - 1.5 相容性、收斂性與穩定性

1.5 相容性、收斂性與穩定性

1.5.1 相容性與收斂性

定義相容性。（非數學性質嚴格）

定義 1.5.1 相容性

當步長 \(h \to 0\) 時，差分方程是否無限逼近微分方程。

定義收斂性。（非數學性質嚴格）

定義 1.5.2 收斂性

對 \(\forall x \in \Omega\)，當步長 \(h \to 0\) 時，差分方程的解是否無限逼近微分方程的解。

(1) 顯式單步法的相容性

對於一個微分方程數值解，考慮原問題

\[\left\{ \begin{align*} & y' = f(x,y) \\ & y(x_0) = y_0 \end{align*} \tag{1.5.1} \right. \]

再考慮單步法離散過程

\[\left\{ \begin{align*} & y_{n+1} = y_{n} + h \varphi(x_n, y_n, h) \\ & y(x_0) = y_0 \end{align*} \tag{1.5.2} \right. \]

根據相容性定義，上述問題的相容性是指，如果增量函數 \(\varphi(x, y, h)\) 對任意 \(x\) 和 \(y\) 都關於 \(h\) 連續且滿足條件：

\[\varphi(x_n, y_n, 0) = \lim_{h \to 0} \varphi(x_n, y_n, h) = f(x,y) \]

則稱差分方程 \((1.5.2)\) 與原方程 \((1.5.1)\) 相容。

定理 1.5.1

對顯式單步法，若 \(\varphi(x,y,h)\) 足夠光滑（連續，且對 \(h\) 偏導數存在且有界），則單步法為 \(p\) 階（\(p \geqslant 1\)）的必要條件是差分方程 \((1.5.2)\) 與原方程 \((1.5.1)\) 相容。

證明： 若 \(y_{n+1} = y_n + h \varphi(x_n, y_n, h)\) 為 \(p\) 階方法。

則有

\[y(x_{n+1}) - y(x_{n}) - h \varphi(x_n, y(x_{n}), h) = O(h^{p+1}) \]

也即下式

\[y(x + h) - y(x) - h \varphi(x, y(x), h) = O(h^{p+1}) \]

由此可得

\[\frac{y(x_{n+1}) - y(x_{n})}{h} = \varphi(x_n, y(x_{n}), h) + O(h^{p}) \]

兩邊取極限即可得

\[\varphi(x_n, y(x_{n}), 0) = \lim_{h \to 0} \varphi(x_n, y(x_{n}), h) = y'(x) \]

根據相容性定義，上述問題的相容性是指，如果增量函數 \(\varphi(x, y, h)\) 對任意 \(x\) 和 \(y\) 都關於 \(h\) 連續且滿足條件：

\[\varphi(x_n, y_n, 0) = \lim_{h \to 0} \varphi(x_n, y_n, h) = f(x,y) \]

則稱差分方程 \((1.5.2)\) 與原方程 \((1.5.1)\) 相容。

(2) 顯式單步法的收斂性

根據收斂性定義，上述問題的收斂性是指，如果某種數值方法對任意 \(x \in (a, b]\) 有

\[\lim_{h \to 0} y_n = y(x) \quad (x=a+nh) \]

則稱差分方程 \((1.5.2)\) 與原方程 \((1.5.1)\) 收斂。

定理 1.5.2

設顯式單步法具有 \(p\) 階精度，其增量函數 \(\varphi(x, y, h)\) 關於 \(y\) 滿足 Lipschitz 條件，問題 \((1.5.1)\) 的初值是精確的，即 \(y(x_0) = y_0\)，則顯式單步法的整體截斷誤差為：

\[e_{n+1} = y(x_{n+1}) - y_{n+1} = O(h^p) \]

定理 1.5.3

設顯式單步法具有 \(p\) 階（\(p \geqslant 1\)）精度，給定一個區域 \(S\)

\[S:a \leqslant x \leqslant b, \quad -\infty < y < \infty, \quad 0 \leqslant h \leqslant h_0 \]

增量函數 \(\varphi(x,y,h)\) 在區域 \(S\) 內連續，且關於 \(y\) 滿足 Lipschitz 條件，則顯式單步法是收斂的。

特別地，當 \(f(x,y)\) 在區域 \(D:a \leqslant x \leqslant b, -\infty < y < \infty\) 上連續，且關於 \(y\) 滿足 Lipschitz 條件，則 Euler 法，改進 Euler 法和各階 RK 方法的增量函數 \(\varphi(x,y,h)\) 在區域 \(S\) 內連續，且關於 \(y\) 滿足 Lipschitz 條件，因而它們都是收斂的。

關於顯式單步法收斂有一個更一般的結論。

定理 1.5.4

給定一個區域 \(S\)

\[S:a \leqslant x \leqslant b, \quad -\infty < y < \infty, \quad 0 \leqslant h \leqslant h_0 \]

設增量函數 \(\varphi(x,y,h)\) 在區域 \(S\) 上連續，且關於 \(y\) 滿足 Lipschitz條件，則顯式單步法收斂的充分必要條件是相容性條件成立。

1.5.2 穩定性

在收斂性討論中，我們都是在每步計算都是准確的前提下，估計由近似公式所產生的誤差，沒有考慮舍入誤差。實際計算中，除了由數值方法所產生的截斷誤差外，還有因數字舍入而產生的舍入誤差。一種數值方法，即使它滿足相容性條件和收斂性條件，但若在計算過程中，舍入誤差的積累越來越大，那么它的解 \(y_n\) 作為原問題的近似解也可能嚴重失真，影響舍入誤差的因素有很多，這里我們只關心它在傳播過程中的增長情況，這即使數值方法的穩定性問題。

穩定性問題比較復雜，其定義也非常依賴微分方程本身。

定義 1.5.3 絕對穩定

用某種數值方法求解初值問題，當步長 \(h\) 固定時，在節點值 \(y_n\) 上產生誤差（擾動）\(\delta_n\)，而由此引起后面節點值 \(y_m\)（\(m>n\)）的誤差 \(| \delta_m |\) 不超過 \(|\delta|\)，則稱此方法是絕對穩定的。

實際討論中，以下述模型方程進行。

\[y' = \lambda y \tag{1.5.3} \]

當步長