数学 - 微分方程数值解 - 第 1 章 一阶常微分方程初值问题 - 1.5 相容性、收敛性与稳定性

1.5 相容性、收敛性与稳定性

1.5.1 相容性与收敛性

定义相容性。（非数学性质严格）

定义 1.5.1 相容性

当步长 \(h \to 0\) 时，差分方程是否无限逼近微分方程。

定义收敛性。（非数学性质严格）

定义 1.5.2 收敛性

对 \(\forall x \in \Omega\)，当步长 \(h \to 0\) 时，差分方程的解是否无限逼近微分方程的解。

(1) 显式单步法的相容性

对于一个微分方程数值解，考虑原问题

\[\left\{ \begin{align*} & y' = f(x,y) \\ & y(x_0) = y_0 \end{align*} \tag{1.5.1} \right. \]

再考虑单步法离散过程

\[\left\{ \begin{align*} & y_{n+1} = y_{n} + h \varphi(x_n, y_n, h) \\ & y(x_0) = y_0 \end{align*} \tag{1.5.2} \right. \]

根据相容性定义，上述问题的相容性是指，如果增量函数 \(\varphi(x, y, h)\) 对任意 \(x\) 和 \(y\) 都关于 \(h\) 连续且满足条件：

\[\varphi(x_n, y_n, 0) = \lim_{h \to 0} \varphi(x_n, y_n, h) = f(x,y) \]

则称差分方程 \((1.5.2)\) 与原方程 \((1.5.1)\) 相容。

定理 1.5.1

对显式单步法，若 \(\varphi(x,y,h)\) 足够光滑（连续，且对 \(h\) 偏导数存在且有界），则单步法为 \(p\) 阶（\(p \geqslant 1\)）的必要条件是差分方程 \((1.5.2)\) 与原方程 \((1.5.1)\) 相容。

证明： 若 \(y_{n+1} = y_n + h \varphi(x_n, y_n, h)\) 为 \(p\) 阶方法。

则有

\[y(x_{n+1}) - y(x_{n}) - h \varphi(x_n, y(x_{n}), h) = O(h^{p+1}) \]

也即下式

\[y(x + h) - y(x) - h \varphi(x, y(x), h) = O(h^{p+1}) \]

由此可得

\[\frac{y(x_{n+1}) - y(x_{n})}{h} = \varphi(x_n, y(x_{n}), h) + O(h^{p}) \]

两边取极限即可得

\[\varphi(x_n, y(x_{n}), 0) = \lim_{h \to 0} \varphi(x_n, y(x_{n}), h) = y'(x) \]

根据相容性定义，上述问题的相容性是指，如果增量函数 \(\varphi(x, y, h)\) 对任意 \(x\) 和 \(y\) 都关于 \(h\) 连续且满足条件：

\[\varphi(x_n, y_n, 0) = \lim_{h \to 0} \varphi(x_n, y_n, h) = f(x,y) \]

则称差分方程 \((1.5.2)\) 与原方程 \((1.5.1)\) 相容。

(2) 显式单步法的收敛性

根据收敛性定义，上述问题的收敛性是指，如果某种数值方法对任意 \(x \in (a, b]\) 有

\[\lim_{h \to 0} y_n = y(x) \quad (x=a+nh) \]

则称差分方程 \((1.5.2)\) 与原方程 \((1.5.1)\) 收敛。

定理 1.5.2

设显式单步法具有 \(p\) 阶精度，其增量函数 \(\varphi(x, y, h)\) 关于 \(y\) 满足 Lipschitz 条件，问题 \((1.5.1)\) 的初值是精确的，即 \(y(x_0) = y_0\)，则显式单步法的整体截断误差为：

\[e_{n+1} = y(x_{n+1}) - y_{n+1} = O(h^p) \]

定理 1.5.3

设显式单步法具有 \(p\) 阶（\(p \geqslant 1\)）精度，给定一个区域 \(S\)

\[S:a \leqslant x \leqslant b, \quad -\infty < y < \infty, \quad 0 \leqslant h \leqslant h_0 \]

增量函数 \(\varphi(x,y,h)\) 在区域 \(S\) 内连续，且关于 \(y\) 满足 Lipschitz 条件，则显式单步法是收敛的。

特别地，当 \(f(x,y)\) 在区域 \(D:a \leqslant x \leqslant b, -\infty < y < \infty\) 上连续，且关于 \(y\) 满足 Lipschitz 条件，则 Euler 法，改进 Euler 法和各阶 RK 方法的增量函数 \(\varphi(x,y,h)\) 在区域 \(S\) 内连续，且关于 \(y\) 满足 Lipschitz 条件，因而它们都是收敛的。

关于显式单步法收敛有一个更一般的结论。

定理 1.5.4

给定一个区域 \(S\)

\[S:a \leqslant x \leqslant b, \quad -\infty < y < \infty, \quad 0 \leqslant h \leqslant h_0 \]

设增量函数 \(\varphi(x,y,h)\) 在区域 \(S\) 上连续，且关于 \(y\) 满足 Lipschitz条件，则显式单步法收敛的充分必要条件是相容性条件成立。

1.5.2 稳定性

在收敛性讨论中，我们都是在每步计算都是准确的前提下，估计由近似公式所产生的误差，没有考虑舍入误差。实际计算中，除了由数值方法所产生的截断误差外，还有因数字舍入而产生的舍入误差。一种数值方法，即使它满足相容性条件和收敛性条件，但若在计算过程中，舍入误差的积累越来越大，那么它的解 \(y_n\) 作为原问题的近似解也可能严重失真，影响舍入误差的因素有很多，这里我们只关心它在传播过程中的增长情况，这即使数值方法的稳定性问题。

稳定性问题比较复杂，其定义也非常依赖微分方程本身。

定义 1.5.3 绝对稳定

用某种数值方法求解初值问题，当步长 \(h\) 固定时，在节点值 \(y_n\) 上产生误差（扰动）\(\delta_n\)，而由此引起后面节点值 \(y_m\)（\(m>n\)）的误差 \(| \delta_m |\) 不超过 \(|\delta|\)，则称此方法是绝对稳定的。

实际讨论中，以下述模型方程进行。

\[y' = \lambda y \tag{1.5.3} \]

当步长