1.2 Euler 方法及其改進方法 1.2.1 Euler 方法 用 \(f(x_n, y_n)\) 代替式 \((1.2)\) 中的 \(\varphi_n\)，得到差分方程初值問題： \[\left\{ \begin{align*} & y_{n+1} = y_{n ...

10 常微分方程初值問題的數值解法 10.1 引言 包含自變量、未知函數以及未知函數導數或微分的方程稱為微分方程。在微分方程中，如果自變量的個數只有一個，就稱為常微分方程；如果自變量個數兩個及以上，就稱為偏微分方程。微分方程中出現的未知函數最高階導數的階稱為微分方程的階。如果未知函數\(y ...

本文寫於資格考試前前夕，權以淺淺談當整理復習 穩定性討論主要基於 Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations (LeVeque, 2007) 首先大致梳理一下本文打算簡單整理 ...

上一節簡單介紹了可求解的一階常微分方程的解法，因為大部分非線性方程是不可解的，所以需要給出解的存在性的證明。本節主要介紹一階非線性常微分方程Cauchy問題$$（E）\,\,\,\,\,\frac{dy}{dx}=f(x,y),\,\,\,\,\,y(x_{0})=y_{0}.$$解的存在性 ...

2.2 差分格式 列出幾個常用的數值微分公式。 引理 2.2.1 設 \(h>0\) 和 \(c\) 為常數 如果 \(g(x) \in C^2[c-h, c+h]\)，則有 \[g(c) = \frac{1}{2} [g(c-h) + g ...

微分方程初值問題 初值問題\(\begin{cases}y^{\prime}=f(x, y)\\ y(x_{0})=y_{0}\end{cases}\)的解\(y=y(x)\)代表通過點\((x_0, y_0)\)的一條稱為微分方程的積分曲線。積分曲線上的每一個點\((x, y)\)的切線斜率 ...

一階線性微分方程經常在經濟學中遇到,在此進行記錄. 定義 形如以下形式的方程稱為一階線性微分方程。其特點是它關於未知函數y及其一階導數是一次方程。 \[\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \] 齊次形式 對於Q(x)=0的情況,稱為一階齊次線性微分方程 ...

本篇介紹一下一階微分方程的求解方法，以及伯努利方程的特殊求解方法。這個應該是上學時高數課中的內容，現在用到了，溫習一下。 順便感嘆一下，時間過得真快。 1. 定義 形如上式的方程稱為一階線性微分方程, 並且當Q(x)恆為零時稱為齊次線性方程, Q(x)不恆為零時稱為非齊次線性方程 ...