上一節簡單介紹了可求解的一階常微分方程的解法，因為大部分非線性方程是不可解的，所以需要給出解的存在性的證明。本節主要介紹一階非線性常微分方程Cauchy問題
$$
（E）\,\,\,\,\,\frac{dy}{dx}=f(x,y),\,\,\,\,\,y(x_{0})=y_{0}.
$$
解的存在性定理Picard-Lindelof定理（有的書上稱它為Cauchy-Lipschitz定理）. 對一階常微分方程解的存在性理論作出重要貢獻的數學家有Cauchy、Lipschitz、Picard、Lindelof、Peano等，其中Picard提出的Picard迭代法尤其值得關注。據傳Picard證明Picard—Lindelof定理的原始論文足足有三四百頁，后來數學家Banach把Picard的方法抽象出來證明了著名的Banach不動點定理。Banach不動點定理是分析學中最重要的定理之一，也是用的最多的定理之一，它在線性方程組求解迭代方法的收斂性、常微分方程的兩點邊值問題、隱函數定理、Lax-Milgram定理甚至代數方程解的存在性等問題中均有重要應用。許多微分方程（組）通過轉化為等價的積分方程再利用不動點理論來證明解的存在性。本節也采用這一框架來探索方程（E）解的存在性。為此，首先利用Picard迭代給出Banach不動點定理的證明。
定理1 (Banach) 設$X$為Banach空間（即完備的賦范空間，完備的意思指所有的Cauchy列均收斂），$f:X\to X$為壓縮映射，即存在常數$k, 0<k<1$，對任意$x,y\in X$有
$$
\|f(x)-f(y)\|\leq k\|x-y\|,
$$
則映射$f: X\to X$有且只有一個不動點$x\in X.$
證明： 任取$x_{0}\in X$，構造Picard迭代
$$
x_{n+1}=f(x_{n}),\,\,\,\,n\geq 0.
$$
則
$$
\|x_{n+1}-x_{n}\|=\|f(x_{n})-f_{x_{n-1}}\|\leq k\|x_{n}-x_{n-1}\|\leq\cdots\leq k^n\|x_{1}-x_{0}\|.
$$
設$m>n\geq 0$，由三角不等式和上式得
$$
\|x_{m}-x_{n}\|\leq \sum_{p=n}^{m-1}\|x_{p+1}-x_{p}\|\leq \frac{k^n}{1-k}\|x_{1}-x_{0}\|,
$$
當$m,n\to \infty$時，$\|x_{m}-x_{n}\|\to 0$, 故序列$\{x_{n}\}$為Cauchy列，由$X$的完備性知存在$x_{\infty}\in X$使得$\lim_{n\to\infty}x_{n}=x_{\infty}.$ $f:X\to X$滿足Lipschitz條件，顯然連續.故
$$
x_{\infty}=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=f(\lim_{n\to\infty}x_{n})=f(x_{\infty}).
$$
存在性得證。
誤差估計：
$$
\|x_{n}-x_{\infty}\|=\lim_{m\to\infty}\|x_{n}-x_{m}\|\leq \frac{k^n}{1-k}\|x_{1}-x_{0}\|.
$$
若$\lim_{n\to\infty}x_{n}=x_{c}$，由上式知
$$
\|x_{c}-x_{\infty}\|=0.
$$
唯一性得證。證畢。
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定理2 (Picard—Lindelof) 設初值問題
$$
（E）\,\,\,\,\,\frac{dy}{dx}=f(x,y),\,\,\,\,\,y(x_{0})=y_{0}.
$$
$f: Q_{a,b}\to \mathbb{R}$為連續函數，並且對第二個變量滿足Lipschitz條件，即
$$
|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|\leq L |y_{1}-y|
$$
其中矩形區域$Q_{a,b}$ 為
$$
Q_{a,b}=\{(x,y):|x-x_{0}|\leq a, |y-y_{0}|\leq b\}.
$$
$\,a,\, b,\,L$均為常數。則(E)在局部區間$I=[x_{0}-h,x_{0}+h]$上有解，其中常數
$$
h=\min\left\{a,\frac{b}{M},\frac{1}{L}\right\},\,\,\,\,M=\max_{(x,y)\in \mathbb{R}}f(x,y)
$$
證明： 由微積分基本定理知，方程(E)等價於積分方程
$$
y(x)=y_{0}+\int_{x_{0}}^{x}f(s,y(s))ds.
$$
取區間
$$
I_{\varepsilon}=[x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon] \sub [x_{0}-a,x_{0}+a].
$$
$$
J_{\varepsilon}=[y_{0}-M\varepsilon,y_{0}+M\varepsilon]\sub [y_{0}-b,y_{0}+b]
$$
其中$\varepsilon$ 為待定常數，
定義映射
$$
F(y)=y_{0}+\int_{x_{0}}^{x}f(s,y(s))ds,
$$
則
$$
F: C(I_{\varepsilon};J_{\varepsilon})\to C(I_{\varepsilon};J_{\varepsilon}).
$$
事實上，
$$
|F(y)-y_{0}|=\left|\int_{x_{0}}^{x}f(s,y(s)ds\right|\leq M\varepsilon.
$$
取$C(I_{\varepsilon};J_{\varepsilon})$的上確界范數,壓縮條件
$$
\|F(y_{1})-F(y_{2})\|=\sup_{x\in I_{\varepsilon}}\left|\int_{x_{0}}^{x}f(s,y_{1}(s))-f(s,y_{2}(s))ds\right|\leq L\varepsilon \|y_{1}-y_{2}\|
$$
故當
$$
\varepsilon <\frac{1}{L},\,\,\varepsilon<a,\,\,and,\,\,\varepsilon<\frac{b}{M}.
$$
時,由Banach不動點定理知存在唯一的$y\in C(I_{\varepsilon};J_{\varepsilon})$使得$F(y)=y$,即為原微分方程等價的積分方程的唯一解。
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定理3 (改進的Picard-Lindelof) 設初值問題
$$
（E）\,\,\,\,\,\frac{dy}{dx}=f(x,y),\,\,\,\,\,y(x_{0})=y_{0}.
$$
$f: Q_{a,b}\to \mathbb{R}$為連續函數，並且對第二個變量滿足Lipschitz條件，即
$$
|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|\leq L |y_{1}-y|
$$
其中矩形區域$Q_{a,b}$ 為
$$
Q_{a,b}=\{(x,y):|x-x_{0}|\leq a, |y-y_{0}|\leq b\}.
$$
$\,a,\, b,\,L$均為常數。則(E)在局部區間$I=[x_{0}-h,x_{0}+h]$上有解，其中常數
$$
h=\min\left\{a,\frac{b}{M}\right\},\,\,\,\,M=\max_{(x,y)\in \mathbb{R}}f(x,y)
$$
注：這個定理與上個定理的不同在於$h$的范圍變大了一些。證明它的工具為以下推廣的Banach不動點定理。
定理4 (推廣的Banach不動點定理) 設$X$為Banach空間（即完備的賦范空間，完備的意思指所有的Cauchy列均收斂），$F^{n}:X\to X, n\geq 1$為壓縮映射,則映射$F: X\to X$有且只有一個不動點$x\in X.$
定理4的證明 ：
不妨設$n\geq 2$，由Banach不動點定理知存在唯一的$x_{\infty}\in X,F^{n}x_{\infty}=x_{\infty}$，又
$$
F^{n}(F(x))=F^{n+1}(x)=F(F^{n}x)=(F(x)).
$$
上式表明$F(x)$也是$F^{n}:X\to X$的一個不動點，由唯一性知$F(x)=x.$ 證畢.
定理3的證明：符號設定均與定理2的證明相同。
設
$$
\forall y,z\in C(I_{\varepsilon},J_{\varepsilon}),y_{1}=y,z_{1}=z.
$$
$$
y_{k+1}=y_{0}+\int_{x_{0}}^{x}f(s,y_{k}(s))ds,\,\,k\geq 1.
$$
$$
z_{k+1}=y_{0}+\int_{x_{0}}^{x}f(s,z_{k}(s))ds,\,\,k\geq 1.
$$
有估計式
$$
|y_{2}(x)-z_{2}(x)|=\left|\int_{x_{0}}^{x}f(s,y(s))-f(s,z(s))\right|\leq L\|y-z\|\cdot |x-x_{0}|,
$$
依次遞推，
$$
|y_{3}-z_{3}|=\left|\int_{x_{0}}^{x}f(s,y_{2}(s))-f(s,z_{2}(s))\right|\leq\left|\int_{x_{0}}^{x}L|y_{2}-z_{2}|\right|
$$
$$
\leq L^{2}\|y-z\|\left|\int_{x_{0}}^{x}|s-x_{0}|ds\right|=\frac{L^2}{2!}\|y-z\|\cdot(x-x_{0})^{2}
$$
$$
\cdots
$$
$$
\|F^{n+1}y-F^{n+1}z\|\leq \frac{L^{n}\varepsilon^{n}}{n!}\|y-z\|
$$
而
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{L^{n}\varepsilon^n}{n!}=0.
$$
也就是說存在$p\in \mathbb{N}^{+},s.t.\,\,F^{p}$為壓縮映射，從而根據推廣的Banach定理知映射$F: X\to X$有且只有一個不動點$x\in X.$ 這里對$\varepsilon$的限制為
$$
\varepsilon<a\,\,\,\,and,\,\,\,\,\varepsilon<\frac{b}{M}.
$$
證畢。